深度神经网络（DNNs）的泛化能力与极值点的平坦程度密切相关，因此出现了 Sharpness-Aware Minimization (SAM) 算法来寻找更平坦的极值点以提高泛化能力。本文重新审视 SAM 的损失函数，提出了一种更通用、有效的方法 WSAM，通过将平坦程度作为正则化项来改善训练极值点的平坦度。通过在各种公开数据集上的实验表明，与原始优化器、SAM 及其变体相比，WSAM 在绝大多数情形都实现了更好的泛化性能。WSAM 在蚂蚁内部数字支付、数字金融等多个场景也被普遍采用并取得了显著效果。该文被 KDD '23 接收为 Oral Paper。
随着深度学习技术的发展，高度过参数化的 DNNs 在 CV 和 NLP 等各种机器学习场景下取得了巨大的成功。虽然过度参数化的模型容易过拟合训练数据，但它们通常具有良好的泛化能力。泛化的奥秘受到越来越多的关注，已成为深度学习领域的热门研究课题。
最新的研究显示，泛化能力与极值点的平坦程度密切相关。换句话说，损失函数的“地貌”中存在平坦的极值点可以实现更小的泛化误差。Sharpness-Aware Minimization (SAM) [1] 是一种用于寻找更平坦极值点的技术，被认为是当前最有前途的技术方向之一。SAM技术被广泛应用于计算机视觉、自然语言处理和双层学习等多个领域，并在这些领域中明显优于之前的最先进方法
为了探索更平坦的最小值，SAM 定义损失函数 L 在 w 处的平坦程度如下：
GSAM [2] 证明了 
是局部极值点 Hessian 矩阵最大特征值的近似，表明 
确实是平坦（陡峭）程度的有效度量。然而 
只能用于寻找更平坦的区域而不是最小值点，这可能导致损失函数收敛到损失值依然很大的点（虽然周围区域很平坦）。因此，SAM 采用
，即 
作为损失函数。它可以视为在 
和 
之间寻找更平坦的表面和更小损失值的折衷方案，在这里两者被赋予了同等的权重。
本文重新思考了 
的构建，将 
视为正则化项。我们开发了一个更通用、有效的算法，称为 WSAM（Weighted Sharpness-Aware Minimization），其损失函数加入了一个加权平坦度项 
作为正则项，其中超参数
控制了平坦度的权重。在方法介绍章节，我们演示了如何通过
来指导损失函数找到更平坦或更小的极值点。我们的关键贡献可以总结如下。
SAM 是解决由公式（1）定义的 
的极小极大最优化问题的一种技术。
首先，SAM 使用围绕 w 的一阶泰勒展开来近似内层的最大化问题，即、
其次，SAM 通过采用 
的近似梯度来更新 w ，即
其中第二个近似是为了加速计算。其他基于梯度的优化器（称为基础优化器）可以纳入 SAM 的通用框架中，具体见Algorithm 1。通过改变 Algorithm 1 中的 
和
，我们可以获得不同的基础优化器，例如 SGD、SGDM 和 Adam，参见 Tab. 1。请注意，当基础优化器为 SGD 时，Algorithm 1 回退到 SAM 论文 [1] 中的原始 SAM。
在此，我们给出
的正式定义，它由一个常规损失和一个平坦度项组成。由公式（1），我们有
其中 
。當
=0 時，
退化為常規損失；當 
=1/2 時，
等價於
；當 
>1/2 時，
更重視平坦度，因此與SAM 相比更容易找到較小曲率而非較小損失值的點；反之亦然亦然。
包含不同基本最佳化器的WSAM 的一般框架可以透過選擇不同的 
和 
來實現，請參閱Algorithm 2。例如，當 
和 
時，我們得到基礎最佳化器為 SGD 的 WSAM，請參閱 Algorithm 3。在此，我們採用了一種「權重解耦」技術，即 
平坦度項不是與基礎最佳化器整合用於計算梯度和更新權重，而是獨立計算（Algorithm 2 第7 行的最後一項）。這樣，正則化的效果只反映了當前步驟的平坦度，而沒有額外的資訊。為了進行比較，Algorithm 4 給出了沒有「權重解耦」（稱為 Coupled-WSAM）的 WSAM。例如，如果基本最佳化器是 SGDM，則 Coupled-WSAM 的正規化項是平坦度的指數移動平均值。如實驗章節所示，「權重解耦」可以在大多數情況下改善泛化表現。
Fig. 1 展示了不同
取值下的 WSAM 更新過程。當
時，
介於 
與 
之間，並隨著
增大逐漸偏離 
。
#為了更好說明WSAM 中 γ 的效果和優勢，我們設定了一個二維簡單範例。如Fig. 2 所示，損失函數在左下角有一個相對不平坦的極值點（位置：(-16.8, 12.8)，損失值：0.28），在右上角有一個平坦的極值點（位置： (19.8, 29.9)，損失值：0.36）。損失函數定義為: 
，這裡 
是單變量高斯模型與兩個常態分佈之間的KL 散度，即 
# ，其中 
和 
# 。
我們使用動量為 0.9 的 SGDM 作為基本最佳化器，並對 SAM 和 WSAM 設定
=2 。從初始點 (-6, 10) 開始，使用學習率為 5 在 150 步驟內最佳化損失函數。 SAM 收斂到損失值較低但較不平坦的極值點，
=0.6的 WSAM 也類似。然而，
=0.95 使得損失函數收斂到平坦的極值點，顯示更強的平坦度正規化發揮了作用。
#我們在各種任務上進行了實驗，以驗證WSAM 的有效性。
我們首先研究了 WSAM 在 Cifar10 和 Cifar100 資料集上從零開始訓練模型的效果。我們選擇的模型包括 ResNet18 和WideResNet-28-10。我們使用預先定義的批次大小在 Cifar10 和 Cifar100 上訓練模型，ResNet18 和 WideResNet-28-10 分別為 128，256。這裡使用的基礎優化器是動量為 0.9 的 SGDM。依照 SAM [1] 的設置，每個基礎優化器跑的 epoch 數是 SAM 類優化器的兩倍。我們對兩個模型都進行了 400 個 epoch 的訓練（SAM 類優化器為 200 個 epoch），並使用 cosine scheduler 來衰減學習率。這裡我們沒有使用其他進階資料增強方法，例如 cutout 和 AutoAugment。
對於兩個模型，我們使用聯合網格搜尋確定基礎最佳化器的學習率和權重衰減係數，並將它們保持不變用於接下來的 SAM 類別最佳化器實驗。學習率和權重衰減係數的搜尋範圍分別為 {0.05, 0.1} 和 {1e-4, 5e-4, 1e-3}。由於所有SAM 類別優化器都有一個超參數
(鄰域大小)，我們接下來在SAM 優化器上搜尋最佳的
並將相同的值用於其他SAM類別優化器。 
的搜尋範圍為 {0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5}。最後，我們對其他 SAM 類優化器各自獨有的超參進行搜索，搜索範圍來自各自原始文章的建議範圍。對於 GSAM [2]，我們在 {0.01, 0.02, 0.03, 0.1, 0.2, 0.3} 範圍內搜尋。對於 ESAM [3]，我們在{0.4, 0.5, 0.6} 範圍內搜尋 
，在{0.4, 0.5, 0.6} 範圍內搜尋 
，在{0.4, 0.5, 0.6} 範圍內搜尋
。對於 WSAM，我們在 {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.82, 0.84, 0.86, 0.88, 0.9, 0.92, 0.94, 0.96} 範圍內搜尋
。我們使用不同的隨機種子重複實驗 5 次，計算了平均誤差和標準差。我們在單卡 NVIDIA A100 GPU 上進行實驗。每個模型的優化器超參總結在 Tab. 3 中。
Tab. 2 給出了在不同優化器下，ResNet18、WRN-28-10 在Cifar10 和Cifar100 上測試集的top- 1 錯誤率。相較於基礎優化器，SAM 類優化器顯著提升了效果，同時，WSAM 又顯著優於其他 SAM 類優化器。
我們在ImageNet資料集上進一步使用Data-Efficient Image Transformers網路架構進行實驗。我們恢復了一個預先訓練的DeiT-base檢查點，然後繼續訓練三個epoch。模型使用批次大小256進行訓練，基礎優化器為動量0.9的SGDM，權重衰減係數為1e-4，學習率為1e-5。我們在四卡NVIDIA A100 GPU重複運行5次，併計算平均誤差和標準差
我們在 {0.05, 0.1, 0.5, 1.0,⋯ , 6.0} 中搜尋SAM的最佳
。最佳的
=5.5 直接用於其他 SAM 類別最佳化器。之後，我們在{0.01, 0.02, 0.03, 0.1, 0.2, 0.3}中搜尋GSAM 的最佳 
，並在0.80 到0.98 之間以0.02 的步長搜尋WSAM 的最佳
。
模型的初始 top-1 錯誤率為 18.2%，在進行了三個額外的 epoch 之後，錯誤率如 Tab. 4 所示。我們沒有發現三個 SAM-like 優化器之間有明顯的差異，但它們都優於基礎優化器，表明它們可以找到更平坦的極值點並具有更好的泛化能力。
如先前的研究[1, 4, 5] 所示，SAM 類別最佳化器在訓練集存在標籤雜訊時表現出良好的魯棒性。在這裡，我們將 WSAM 的穩健性與 SAM、ESAM 和 GSAM 進行了比較。我們在 Cifar10 資料集上訓練 ResNet18 200 個 epoch，並注入對稱標籤噪聲，噪聲水準為 20%、40%、60% 和 80%。我們使用具有 0.9 動量的 SGDM 作為基礎優化器，批次大小為 128，學習率為 0.05，權重衰減係數為 1e-3，並使用 cosine scheduler 衰減學習率。針對每個標籤雜訊水平，我們在 {0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5} 範圍內對 SAM 進行網格搜索，確定通用的
值。然後，我們單獨搜尋其他優化器特定的超參數，以找到最優泛化效能。我們在 Tab. 5 中列出了復現我們結果所需的超參數。我們在 Tab. 6 中給出了穩健性測試的結果，WSAM 通常比 SAM、ESAM 和 GSAM 都具有更好的穩健性。
SAM 類別最佳化器可以與ASAM [4] 和Fisher SAM [5] 等技術結合，以自適應地調整探索鄰域的形狀。我們在 Cifar10 上對 WRN-28-10 進行實驗，比較 SAM 和 WSAM 在分別使用自適應和 Fisher 資訊方法時的表現，以了解探索區域的幾何結構如何影響 SAM 類優化器的泛化性能。
除了
和
之外的參數，我們重複使用了影像分類中的配置。根據先前的研究 [4, 5]，ASAM 和 Fisher SAM 的
通常較大。我們在 {0.1, 0.5, 1.0,…, 6.0} 中搜尋最佳的
，ASAM 和 Fisher SAM 最佳的
#都是 5.0。之後，我們在 0.80 到 0.94 之間以 0.02 的步長搜尋 WSAM 的最佳
，兩種方法最佳
都是 0.88。
令人驚訝的是，如 Tab. 7 所示，即使在多個候選項中，基準的 WSAM 也表現出更好的泛化性。因此，我們建議直接使用具有固定的
基準 WSAM 即可。
#在本節中，我們進行消融實驗，以深入理解WSAM 中“權重解耦”技術的重要性。如WSAM 的設計細節所述，我們將不含「權重解耦」的 WSAM 變體（演算法 4）Coupled-WSAM 與原始方法進行比較。
結果如 Tab. 8 所示。 Coupled-WSAM 在大多數情況下比 SAM 產生更好的結果，WSAM 在大多數情況下進一步提升了效果，證明「權重解耦」技術的有效性。
在這裡，我們透過比較WSAM 和SAM 最佳化器找到的極值點之間的差異，進一步加深對WSAM 優化器的理解。極值點處的平坦（陡峭）度可透過 Hessian 矩陣的最大特徵值來描述。特徵值越大，越不平坦。我們使用 Power Iteration 演算法來計算這個最大特徵值。
Tab. 9 顯示了 SAM 和 WSAM 最佳化器找到的極值點之間的差異。我們發現，vanilla 最佳化器找到的極值點具有較小的損失值但較不平坦，而 SAM 找到的極值點具有較大的損失值但較平坦，從而改善了泛化效能。有趣的是，WSAM 找到的極值點不僅損失值比 SAM 小得多，而且平坦度十分接近 SAM。這表明，在尋找極端值點的過程中，WSAM 優先確保較小的損失值，同時盡量搜尋到更平坦的區域。
#與SAM 相比，WSAM 具有額外的超參數
，用於縮放平坦（陡峭）度項的大小。在這裡，我們測試 WSAM 的泛化性能對該超參的敏感度。我們在 Cifar10 和 Cifar100 上使用 WSAM 對 ResNet18 和 WRN-28-10 模型進行了訓練，使用了廣泛的
取值。如 Fig. 3 所示，結果顯示 WSAM 對超參
的選擇不敏感。我們還發現，WSAM 的最優泛化效能幾乎總是在 0.8 到 0.95 之間。
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