(1) Mengikut maksud soalan, kita dapat: f′(x)=3x 2 -12x+5, ∴f′′(x)=6x-12=0, kita dapat x=2
Jadi koordinat titik infleksi ialah (2,-2)
(2) Katakan (x 1 , y 1 ) dan (x, y) adalah simetri tentang pusat (2,-2), dan (x 1 , y 1 ) berada di f(x), jadi terdapat
x 1 =4-x
y 1 =-4-y ,
Daripada y 1 =x 1 3 -6x 1 2 +5x 1 +4, kita dapat -4-y=(4-x) 3 -6(4-x) 2 +5(x-4)+4
Diringkaskan: y=x 3 -6x 2 +5x+4
Jadi (x, y) juga pada f(x), jadi f(x) adalah simetri tentang titik (2,-2).
"Titik lentur" bagi fungsi kubik f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0) ialah (-
b
3a ,f(-
b
3a )), iaitu pusat simetri bagi fungsi f(x)
(Atau: mana-mana fungsi kubik mempunyai titik infleksi; mana-mana fungsi kubik mempunyai pusat simetri; sebarang fungsi kubik boleh menjadi fungsi ganjil selepas terjemahan).
(3),G(x)=a(x-1) 3 +b(x-1) 2 +3(a≠0), atau tulis fungsi tertentu, seperti G(x)=x 3 -3x 2 +3x+2, atau G(x)=x 3 -3x 2 +5x
(1)f′(x)=3x2-6x+2…(1 mata) f″(x)=6x-6 Biarkan f″(x)=6x-6=0 dan dapatkan x=1…(2 mata ) f(1)=13-3+2-2=-2∴Titik fleksi A(1,-2)…(3 mata)
(2) Katakan P(x0,y0) ialah sebarang titik pada imej y=f(x), maka y0=x03-3x02+2x0-2, kerana P(x0,y0) ialah kira-kira A(1,- 2) Titik simetri ialah P'(2-x0,-4-y0),
Masukkan P' ke dalam y=f(x) dan dapatkan bahagian kiri=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
Sebelah kanan=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴Sebelah kanan=sebelah kanan∴P′(2-x0, -4- y0) Pada graf y=f(x), ∴y=f(x) adalah simetri tentang A...(7 mata)
Kesimpulan: ①Titik lentur mana-mana fungsi kubik ialah pusat simetrinya
②Mana-mana fungsi kubik mempunyai "titik infleksi"
③Mana-mana fungsi kubik mempunyai "pusat simetri" (tulis salah satu daripadanya)...(9 mata)
(3) Andaikan G(x)=ax3+bx2+d, kemudian G(0)=d=1...(10 mata) ∴G(x)=ax3+bx2+1,G'(x)= 3ax2+ 2bx,G''(x)=6ax+2bG''(0)=2b=0,b=0, ∴G(x)=ax3+1=0...(11 mata)
Kaedah 1:
G(x1)+G(x2)
2 ?G(
x1+x2
2 )=
a
2
x 3
1
+
a
2
x 3
2
?a(
x1+x2
2 )3=a[
1
2
x 3
1
+
1
2
x 3
2
?(
x1+x2
2 )3]=
a
2 [
x 3
1
+
x 3
2
?
x 3
1
+
x 3
2
+3
x 2
1
x2+3x1
x 2
2
4 ]=
a
8 (3
x 3
1
+3
x 3
2
?3
x 2
1
x2?3x1
x 2
2
)=
a
8 [3
x 2
1
(x1?x2)?3
x 2
2
(x1?x2)]=
3a
8 (x1?x2)2(x1+x2)…(13 mata)
Apabila a>0,
G(x1)+G(x2)
2 >G(
x1+x2
2 )
Apabila aG(x1)+G(x2)
2x1+x2
2)…(14 mata)
Kaedah 2: G′′(x)=3ax, apabila a>0 dan x>0, G′′(x)>0, ∴G(x) ialah fungsi cekung di (0, +∞), ∴
G(x1)+G(x2)
2 >G(
x1+x2
2 )…(13 mata)
Apabila aG(x1)+G(x2)
2x1+x2
2)…(14 mata)
(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,
∴f''(x)=6x-6,
Misalkan f''(x)=6x-6=0,
Kita dapat x=1, f(1)=-2
Jadi koordinat "titik infleksi" A ialah (1,-2)
(2) Biarkan P(x0,y0) ialah sebarang titik pada imej y=f(x), kemudian y0=x03?3x02+2x0?2
∴P(x0,y0) ialah mengenai titik simetri P'(2-x0,-4-y0) daripada (1,-2),
Masukkan P'(2-x0,-4-y0) ke dalam y=f(x), dan dapatkan bahagian kiri =? 4?y0=?x03+3x02?2x0?2
Sebelah kanan=(2?x0)3?3(2?x0)2+2(2?x0)?2=?x03+3x02?2x0?2
∴Kiri = kanan,
∴P'(2-x0,-4-y0) pada imej y=f(x),
Imej∴f(x) adalah simetri tentang "titik infleksi" A.
Atas ialah kandungan terperinci y ditakrifkan oleh fungsi kubik fx=ax^3+bx^2+cx+d. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!
