수학적 논리와 컴퓨터 프로그램 코드의 깊은 연관성: 서로의 거울상

일부 과학적 발견은 DNA의 이중 나선 구조나 블랙홀의 존재 등 새로운 것이 밝혀졌다는 점에서 큰 의미를 갖습니다. 그러나 이러한 계시는 이전에는 매우 다르게 보였던 두 가지 오래된 개념이 실제로 동일하다는 것을 보여주기 때문에 더 깊은 의미를 갖습니다. 예를 들어, 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)은 전기와 자기가 동일한 현상의 측면임을 보여주는 방정식 시스템을 발견했으며 일반 상대성 이론은 중력을 휘어진 시공간과 연결했습니다.

Curry-Howard 서신의 경우에도 마찬가지이며 한 분야의 두 가지 서로 다른 개념뿐만 아니라 두 가지 완전한 분야, 즉 컴퓨터 과학과 수학 논리를 관련시킵니다. 이 대응은 Curry-Howard 동형(동형은 두 가지 사이의 특정 일대일 대응을 나타냄)이라고도 알려져 있으며, 이는 수학적 증명과 컴퓨터 프로그램 간의 특정 연결을 설정합니다.

간단히 말하면, Currie-Howard 서신은 컴퓨터 과학의 두 가지 개념(유형 및 프로그램)이 논리학의 두 가지 개념(명제 및 증명)과 동일하다고 믿습니다.

이 서신의 결과 중 하나는 프로그램 개발이 이상적인 수학적 수준으로 승격되었다는 것입니다. 이전에는 사람들이 일반적으로 프로그램 개발을 단지 수작업으로 생각했습니다. 프로그램 개발은 단순히 "코드 작성"이 아니라 정리를 증명하는 행위가 되었습니다. 이는 프로그램 개발 동작을 공식화하고 프로그램 정확성에 대해 수학적으로 추론하는 방법을 제공합니다.

이 서신의 이름은 이 서신을 각각 독립적으로 발견한 두 명의 연구자에게서 따왔습니다. 1934년 수학자이자 논리학자인 하스켈 커리는 수학의 함수와 논리의 함축 관계 사이의 유사성을 발견했습니다. 함축 관계의 형태는 두 명제 사이의 "if-then" 진술입니다.

Currie의 관찰에서 영감을 받은 수학 논리학자인 William Alvin Howard는 1969년에 계산과 논리 사이의 더 깊은 연관성을 발견했습니다. 그의 연구에 따르면 컴퓨터 프로그램은 단순화된 논리 증명과 매우 유사합니다. 컴퓨터 프로그램을 실행할 때 각 코드 줄은 "평가"되어 출력을 생성합니다. 마찬가지로, 증명 작업을 할 때 복잡한 진술로 시작한 다음 결론에 도달할 때까지 단순화합니다(예: 중복 단계를 제거하거나 복잡한 표현식을 더 간단한 표현식으로 대체). 성명.

이 설명은 이 대응이 의미하는 바에 대한 대략적인 아이디어를 제공하지만, 이를 완전히 이해하려면 컴퓨터 과학자들이 "유형 이론"이라고 부르는 것에 대해 더 많이 알아야 합니다.

유명한 역설부터 시작해 보겠습니다. 한 마을에 스스로 면도하지 않는 모든 사람만을 위해 면도를 하는 이발사가 있었습니다. 그럼 이 이발사는 스스로 면도를 하는 걸까요? 대답이 '예'라면 그는 자신의 면도를 해서는 안 됩니다. 왜냐하면 그는 자신의 면도를 하지 않는 사람들을 위해서만 면도를 하기 때문입니다. 대답이 '아니요'이면 그는 스스로 면도해야 합니다. (스스로 면도하지 않는 사람은 모두 면도하기 때문입니다.) 이는 버트런드 러셀(Bertrand Russell)이 집합이라는 개념을 사용하여 수학의 기초를 형성하려고 할 때 발견한 역설의 비공식적 버전입니다. 즉, 자신을 포함하지 않는 모든 집합을 포함하는 집합을 정의하는 것은 불가능하며 이 과정에서 필연적으로 모순이 발생합니다.

Russell의 연구에 따르면 이러한 역설을 피하기 위해 유형을 사용할 수 있습니다. 대략적으로 말하면 유형은 구체적인 값을 객체라고 하는 범주입니다. 예를 들어, 자연수를 나타내는 Nat 유형이 있는 경우 해당 개체는 1, 2, 3 등입니다. 연구자들은 물체의 유형을 나타내기 위해 종종 콜론을 사용합니다. 예를 들어 정수형 값이 7인 경우 "7:Integer"로 쓸 수 있습니다. 함수를 사용하여 A 유형의 객체를 B 유형의 객체로 변환하거나, A 및 B 유형의 두 객체를 "A×B" 유형의 새로운 객체로 결합하는 함수를 사용할 수 있습니다.

따라서 이 역설을 해결하기 위한 한 가지 방법은 이러한 유형을 계층화하여 해당 유형이 한 수준 아래의 요소만 포함하도록 하는 것입니다. 그러면 유형은 자신을 포함할 수 없으므로 위의 역설을 생성하는 자체 참조를 피할 수 있습니다.

유형론의 세계에서는 명제가 참이라는 것을 증명하는 과정이 우리가 익숙했던 것과 다를 수 있습니다. 정수 8이 짝수라는 것을 증명하려면 문제의 핵심은 8이 실제로 "짝수" 유형의 객체이고 이 유형의 규칙에 따라 요소가 2로 나누어진다는 것을 증명하는 것입니다. . 8이 2로 나누어지는 것을 확인한 후 8이 "짝수" 유형의 "거주자"라는 결론을 내릴 수 있습니다.

Currie와 Howard는 유형이 논리적 명제와 근본적으로 동일하다는 것을 증명했습니다. 함수가 특정 유형에 "거주"할 때, 즉 함수가 해당 유형의 객체일 때 해당 명제가 참이라는 것을 효과적으로 증명할 수 있습니다. 따라서 A 유형의 개체를 입력으로 사용하고 B 유형의 개체를 출력으로 사용하는 함수(A→B 유형으로 표시됨)는 "A이면 B입니다."라는 의미와 일치해야 합니다. 명제 "비가 오면 땅이 젖는다." 유형 이론에서 이 명제는 "비 → 땅이 젖어 있다"라는 유형의 함수로 모델링됩니다. 이 두 표현은 다르게 보이지만 수학적으로는 동일합니다.

이 연결이 추상적으로 보일 수도 있지만 이는 수학과 컴퓨터 공학 실무자가 자신의 작업에 대해 생각하는 방식을 바꿀 뿐만 아니라 두 분야 모두에 실제 적용할 수 있게 해줍니다. 컴퓨터 과학에서 이러한 연결은 소프트웨어 검증, 즉 소프트웨어 정확성을 보장하는 프로세스에 대한 이론적 기반을 제공합니다. 논리적 명제 측면에서 원하는 동작을 설명함으로써 프로그램 개발자는 프로그램이 예상대로 동작하는지 수학적으로 증명할 수 있습니다. 그리고 이러한 연결은 더욱 강력한 함수형 프로그래밍 언어를 설계하기 위한 견고한 이론적 기반을 제공합니다.

수학 분야에서 이러한 대응으로 인해 대화형 정리 증명이라고도 알려진 증명 보조 도구가 탄생했습니다. 이러한 소프트웨어 도구는 공식적인 증명을 작성하는 데 도움이 될 수 있으며, Coq 및 Lean이 그 예입니다. Coq에서 각 증명 단계는 기본적으로 프로그램이며, 유형 검사 알고리즘을 통해 증명의 유효성을 확인합니다. 수학자들은 또한 수학 개념, 정리, 증명을 컴퓨터로 검증할 수 있는 엄격한 형식으로 표현하는 수학을 공식화하기 위해 증명 보조자(특히 린 정리 증명자)를 사용해 왔습니다. 이를 통해 때때로 비공식적인 수학 언어를 컴퓨터로 테스트할 수 있습니다.

연구원들은 또한 수학과 프로그래밍 간의 이러한 연관성의 잠재적인 결과를 탐구하고 있습니다. 원래 커리-하워드 대응은 프로그램 개발을 직관주의적 논리라고 불리는 일종의 논리와 통합했지만, 통합할 수 있는 논리의 유형이 더 많다는 것이 밝혀졌습니다.

코넬 대학교 컴퓨터 과학자인 Michael Clarkson은 다음과 같이 말했습니다. "Currie가 통찰력을 얻은 이후 한 세기 동안 우리는 '논리 시스템 X가 계산 시스템 Y에 해당'하는 사례를 점점 더 많이 발견했습니다." 연구 저자들은 또한 프로그래밍을 연결했습니다. "자원"의 개념을 포함하는 선형 논리 및 가능성과 필요성의 개념을 포함하는 양식 논리와 같은 다른 유형의 논리에 적용됩니다.

이 서신에는 Curry와 Howard의 이름이 있지만 결코 그들이 이 서신을 발견한 유일한 사람은 아닙니다. 이것은 이 서신의 근본적인 성격을 보여줍니다. 사람들은 그것을 계속해서 알아차립니다. Clarkson은 "컴퓨팅과 논리 사이의 깊은 연결은 우연이 아닌 것 같습니다."라고 말했습니다.

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