트리에 있는 모든 최단 경로 쌍의 합

트리에서 "모든 노드 쌍에 대한 최단 경로의 합"이라는 용어는 모든 노드 쌍에 대한 개별 최단 경로의 합을 계산하는 것을 의미합니다. 효과적인 방법은 이중 DFS(깊이 우선 탐색) 알고리즘을 사용하는 것입니다. 선택한 노드와 다른 모든 노드 사이의 거리는 첫 번째 DFS 통과 중에 결정됩니다. 두 번째 DFS 패스 동안 트리를 다시 탐색하여 각 노드를 잠재적인 LCA(최저 공통 조상)로 간주하고 선택한 LCA의 하위 노드 쌍 사이의 거리 합계를 계산합니다. 이 방법을 사용하면 트리의 모든 노드 쌍에 대한 최단 경로의 합을 계산하고 이상적인 솔루션을 보장할 수 있습니다.

사용방법

• 이중 DFS(깊이 우선 탐색) 방법

• 동적 프로그래밍 방법

이중 DFS(깊이 우선 검색) 방식

트리에 있는 모든 최단 경로 쌍의 합을 계산하기 위해 두 번의 DFS 통과가 포함된 이중 DFS(깊이 우선 검색) 방법을 사용합니다. 먼저, 임의의 노드에서 다른 모든 노드까지의 거리를 계산합니다. 그런 다음 두 번째 DFS 순회 중에 각 노드를 잠재적인 LCA로 간주하면서 트리를 탐색합니다. 횡단하는 동안 선택된 LCA의 자손인 노드 쌍 사이의 거리를 계산하고 합산합니다. 모든 노드에 대해 이 과정을 반복함으로써 모든 최단 경로 쌍의 합을 얻습니다. 이 전략은 트리의 모든 노드 집합 간의 거리 합계를 효과적으로 계산하기 때문에 이 문제에 대해 매우 설득력이 있습니다.

알고리즘

• 트리의 모든 노드를 시작 노드로 사용할 수 있습니다.

• 선택한 시작 노드에서 다른 모든 노드까지의 거리를 확인하려면 해당 노드에서 시작하여 깊이 우선 탐색(DFS)을 수행하세요. 이러한 거리는 배열이나 데이터 구조에 저장되어야 합니다.

• 다음으로 각 노드를 가능한 가장 가까운 공통 조상(LCA)으로 간주하여 트리에서 두 번째 깊이 우선 검색(DFS)을 실행합니다.

• 두 번째 DFS 동안 트리를 순회하면서 선택한 LCA의 자손인 노드 쌍 사이의 거리를 계산합니다. 각 LCA에 대해 이러한 거리가 더해집니다.

• 트리의 각 노드에 대해 이 프로세스를 반복합니다.

• 트리에서 가장 유한한 방식으로 일치하는 모든 항목의 합은 4단계에서 계산된 모든 거리의 합으로 표시됩니다.

Example

Example

출력

동적 프로그래밍 방법:

먼저 임의의 노드를 루트 노드로 선택하고 트리에 있는 모든 노드 사이의 최단 경로의 합을 계산하는 데 사용되는 동적 프로그래밍 방법으로 트리를 루트 트리로 변환합니다. 동적 프로그래밍을 사용하여 각 노드와 루트 노드 간의 분할을 계산하고 결과를 배열에 저장합니다. 그런 다음 각 노드에 대해 루트 노드에서 하위 노드의 분리(계산)를 추가하여 다른 모든 노드의 전체적인 분리를 결정합니다. 이런 방식으로 모든 노드 사이의 최단 경로의 총 개수를 빠르게 계산할 수 있습니다. 이 문제를 해결하는 효율적인 방법으로 이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N)입니다. 여기서 N은 트리의 노드 수입니다.

알고리즘

• 트리의 임의 노드를 루트로 취하고 트리를 루트(예: 루트 노드의 깊이 검색 사용)하여 루트 트리를 만듭니다.

• 동적 프로그래밍을 사용하여 루트에서 각 노드까지의 거리를 결정할 수 있습니다. 이러한 거리는 배열이나 데이터 구조에 저장되어야 합니다.

• 트리의 각 노드에서 다른 모든 노드까지의 거리 합계를 계산합니다.

a. 현재 노드의 하위 노드를 탐색합니다.

b. 현재 노드를 통과하는 경로를 고려하려면 하위 트리의 노드 수와 각 하위 트리에 대해 이전에 계산된 루트까지의 거리를 더합니다.

c. 활성 노드의 각 하위 노드에 대해 다음 금액을 추가합니다.

d. 현재 노드의 합계를 최종 결과에 추가합니다.

• 트리에 있는 모든 최단 경로 쌍의 합이 최종 결과입니다.

출력

결론

트리에 있는 모든 최단 경로 쌍의 합은 Double DFS(깊이 우선 검색) 방법이나 동적 프로그래밍을 사용하여 계산할 수 있습니다. Double DFS 방법은 두 개의 패스로 구성됩니다. 먼저 선택한 노드에서 다른 모든 노드까지의 거리를 계산한 다음 각 노드를 잠재적인 최하위 공통 조상(LCA)으로 처리하여 트리를 다시 순회하여 하위 노드 쌍 간의 거리를 합산합니다. 동적 프로그래밍 방법에서는 DFS를 반복적으로 사용하여 트리의 루트를 구축하고 루트에서 다른 모든 노드까지의 거리를 계산해야 합니다. 두 방법의 결과는 동일하며 트리의 모든 쌍별 최단 경로의 합으로 구성됩니다. 두 알고리즘 간의 결정은 특정 구현 기본 설정이나 트리 구조를 기반으로 할 수 있지만 두 알고리즘 모두 효율적인 솔루션을 제공합니다.

위 내용은 트리에 있는 모든 최단 경로 쌍의 합의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!