PythonによるEMアルゴリズムの詳細説明

EM アルゴリズムは統計学習でよく使用されるアルゴリズムであり、さまざまな分野で広く使用されています。優れたプログラミング言語である Python は、EM アルゴリズムを実装する上で大きな利点があるため、この記事では Python の EM アルゴリズムについて詳しく紹介します。

まず第一に、EM アルゴリズムとは何なのかを理解する必要があります。 EM アルゴリズムは期待値最大化アルゴリズムと呼ばれ、隠れた変数や欠損データを含むパラメーター推定問題を解決するためによく使用される反復アルゴリズムです。 EM アルゴリズムの基本的な考え方は、観測されていない隠れ変数または欠損データを継続的に推定することにより、パラメーターの最尤推定を反復的に解くことです。

Python での EM アルゴリズムの実装は、次の 4 つのステップに分けることができます。

1. E ステップ

E ステップでは、観測されたデータと現在のデータを比較します。パラメータの推定により、潜在変数の確率分布が計算されます。基本的に、このステップのタスクは、サンプル データを分類し、観測データをクラスター化し、潜在変数の事後分布を取得することです。実際の運用では、K-means アルゴリズムや GMM などのいくつかのクラスタリング アルゴリズムを使用できます。

2. M ステップ

M ステップのタスクは、E ステップ レベル分類を通じてパラメータを再推定することです。この時点で必要なのは、各カテゴリのデータ分布内のパラメータの最尤推定値を計算し、パラメータを再更新することだけです。このプロセスは、勾配降下法や共役勾配アルゴリズムなどのいくつかの最適化アルゴリズムを使用して実装できます。

3. ステップ 1 と 2 を繰り返す

次に、パラメータが収束し、最尤推定を満たすパラメータを取得するまでステップ 1 と 2 を繰り返す必要があります。このプロセスは、EM アルゴリズムの反復解法ステップです。

4. 尤度関数の値を計算する

最後に、尤度関数の値を計算する必要があります。 EM アルゴリズムを継続的に実行することにより、パラメータ推定値が尤度関数を最大化するようにパラメータが更新されます。この時点で、パラメーターを固定し、現在のデータセットの尤度関数値を計算し、それを最適化の目的関数として使用できます。

上記の 4 つの手順を通じて、Python で EM アルゴリズムを実装できます。

コードは次のとおりです。

import numpy as np
import math

class EM:
    def __init__(self, X, k, max_iter=100, eps=1e-6):
        self.X = X
        self.k = k
        self.max_iter = max_iter
        self.eps = eps

    def fit(self):
        n, d = self.X.shape

        # 随机初始化分布概率和均值与协方差矩阵
        weight = np.random.random(self.k)
        weight = weight / weight.sum()
        mean = np.random.rand(self.k, d)
        cov = np.array([np.eye(d)] * self.k)

        llh = 1e-10
        previous_llh = 0

        for i in range(self.max_iter):
            if abs(llh - previous_llh) < self.eps:
                break
            previous_llh = llh

            # 计算隐变量的后验概率，即E步骤
            gamma = np.zeros((n, self.k))
            for j in range(self.k):
                gamma[:,j] = weight[j] * self.__normal_dist(self.X, mean[j], cov[j])
            gamma = gamma / gamma.sum(axis=1, keepdims=True)

            # 更新参数，即M步骤
            Nk = gamma.sum(axis=0)
            weight = Nk / n
            mean = gamma.T @ self.X / Nk.reshape(-1, 1)
            for j in range(self.k):
                x_mu = self.X - mean[j]
                gamma_diag = np.diag(gamma[:,j])
                cov[j] = x_mu.T @ gamma_diag @ x_mu / Nk[j]

            # 计算似然函数值，即求解优化目标函数
            llh = np.log(gamma @ weight).sum()

        return gamma

    def __normal_dist(self, x, mu, cov):
        n = x.shape[1]
        det = np.linalg.det(cov)
        inv = np.linalg.inv(cov)
        norm_const = 1.0 / (math.pow((2*np.pi),float(n)/2) * math.pow(det,1.0/2))
        x_mu = x - mu
        exp_val = math.exp(-0.5 * (x_mu @ inv @ x_mu.T).diagonal())
        return norm_const * exp_val

このうち、

XX: 観測データ

k: カテゴリ数

max_iter : 最大反復ステップ数

eps: 収束閾値

fit() 関数: パラメータ推定

__normal_dist(): 多変量ガウス分布関数の計算

上記のコードにより、Python で EM アルゴリズムを簡単に実装できます。

これに加えて、EM アルゴリズムは、テキスト クラスタリング、画像セグメンテーション、半教師あり学習などのさまざまな統計学習問題にも適用されます。その柔軟性と多用途性により、統計学習における古典的なアルゴリズムの 1 つとなっています。特に欠損データやノイズのあるデータなどの問題に対して、EM アルゴリズムは潜在変数を推定することで処理できるため、アルゴリズムの堅牢性が向上します。

つまり、Python は統計学習にますます使用されており、これらの古典的なアルゴリズムのコード実装とモデル トレーニングにさらに注意を払う必要があります。重要なアルゴリズムの 1 つである EM アルゴリズムも、Python で優れた最適化実装を備えています。 Python を学習している場合でも、統計学習モデリングを学習している場合でも、EM アルゴリズムの実装を習得することが急務です。

以上がPythonによるEMアルゴリズムの詳細説明の詳細内容です。詳細については、PHP 中国語 Web サイトの他の関連記事を参照してください。