機械学習と微分方程式の簡単な分析

機械学習は 1950 年代から存在していましたが、コンピューターがより強力になり、データが爆発的に増加するにつれて、人々は人工知能をどのように使用して競争上の優位性を獲得し、洞察を改善し、利益を拡大できるでしょうか? 広範な実践。さまざまなアプリケーション シナリオに合わせて、機械学習と微分方程式には幅広いシナリオがあります。

誰もがすでに機械学習、特にニューラル ネットワークに基づくディープ ラーニングを使用しています。ChatGPT は非常に人気があります。微分方程式をさらに深く理解する必要がありますか?では、機械学習と微分方程式の違いは何でしょうか?

恋愛モデルの微分方程式から始める

これら 2 つの方程式は、以下に基づいてカップルの恋愛関係の寿命を予測します。心理学 心理学者ジョン ゴットマンの独創的な研究に基づいたこのモデルは、ポジティブな感情の持続が結婚生活の成功における強力な要因であると予測しています。モデルの詳細な解釈については、書籍「Happy Wedding」を参照してください。著者は、幸せな結婚生活を維持するための 7 つのルールも示しています。配偶者への愛情と賞賛

遠ざかるのではなく、お互いに近づく
1. 配偶者にあなたの決定に影響を与えましょう
2. 優しさから始めて妥協で終わります
3. 問題と調和して生きることを学ぶ
4. 共通の意味を生み出す
7. 私たちは 3 年間この流行を個人的に経験しており、何が良いのか、何が良いのかを知っています。何が良いのか。では、微分方程式を使用して患者と感染者の関係を記述するにはどうすればよいでしょうか?

#SIR モデルでは、ウイルスは感染者と非感染者との直接接触を通じて広がり、病気になった人は一定の割合で自動的に回復すると仮定しています。

これらの微分方程式にはすべて、SIR モデルの S (t)、I (t)、R (t) などの未知の関数の導関数 (つまり、変化率) が含まれています。 、微分方程式の解と呼ばれます。これらの方程式の仕組みに基づいて、モデルがどのように設計されているかを導き出すことができ、そのデータは後で仮説を検証するために使用されます。

数理モデルの分類

微分方程式のような数理モデルは、システムの基本的なメカニズムについて事前に仮定を立てます。モデリングは物理学から始まります。実際、数理モデリングの分野全体は、惑星の運動の背後にある基本的な力学を解明しようとする 17 世紀の探求。それ以来、数学に基づいた機構モデルによって、生物学や工学から経済学や社会科学に至るまで、多くの現象に対する重要な洞察が解き明かされてきました。このようなメカニズム モデルは、微分方程式などの方程式ベースのモデルとエージェント ベースのモデルに分類できます。

機械学習などの経験ベースまたはデータ駆動型のモデリングは、豊富なデータを通じてシステムの構造を理解することを目的としています。機械学習は、信号をノイズから分離する方法が実際には分からない複雑なシステムに特に役立ち、賢いアルゴリズムをトレーニングするだけで問題の解決に役立ちます。

機械学習タスクは、次のカテゴリに大別できます:

教師あり学習 (例: 回帰と分類);

教師なし学習 (例: クラスタリングと分類)次元削減) ;

強化学習
• 高度な機械学習と人工知能システムは、今や私たちの日常生活のいたるところに存在しています。いいえ、スマート スピーカーからです。ベースの会話アシスタント (Xiaodu など) から、さまざまなレコメンデーション エンジン、顔認識技術、さらには Tesla の自動運転車まで。これらすべては、コードの山の下に埋め込まれた数学的および統計的モデリングによって推進されます。

さらに、これらのモデルは、「決定的」(予測が固定されている) または「確率的」(予測にランダム性が含まれる) に分類できます。

決定論的モデルは確率変数を無視し、同じ開始条件下では常に同じ結果を予測します。一般に、機械学習と方程式ベースのモデルは決定論的であり、出力は常に予測可能です。言い換えれば、出力は入力によって完全に決定されます。

確率モデルは、モデルに確率を導入することにより、母集団のランダムな変化を考慮します。これらの変化を捉える 1 つの方法は、モデル内の各エンティティを個別のエージェントにし、特定の確率でこれらのエージェントに許可される動作とメカニズムを定義することです。これらはエージェントベースのモデルです。

ただし、個々のアクターをモデル化するにはコストがかかり、エージェントベースのモデルの方が現実的です。高い計算コストとモデルの解釈可能性により、これは数学的モデリングの重要な概念であるモデルの複雑性を刺激しました。

モデルの複雑さ

モデルの複雑さのジレンマは、すべてのモデラーが直面しなければならない現実です。私たちの目標は、両方のモデルを構築し、最適化することです。シンプルで複雑すぎない。シンプルなモデルは分析が簡単ですが、多くの場合、予測能力が不足します。複雑なモデルは非現実的かもしれませんが、複雑な問題の背後にある真実を理解しようとすることは可能です。

シンプルさと分析のしやすさの間でトレードオフを図る必要があります。複雑な機械学習モデルは、ノイズ (つまり、干渉) を拒否しながら、信号 (つまり、システムの真の構造) を学習しようと努めます。これにより、新しいデータに対するモデルのパフォーマンスが低下します。言い換えれば、機械学習モデルは一般化可能性が低いということです。

モデルの複雑さのバランスを取る繊細な作業は「芸術」であり、単純すぎず、複雑すぎないスイートスポットを見つけようとします。この理想的なモデルはノイズを洗い流し、何が起こっているかの根本的なダイナミクスを捉え、合理的に説明可能です。

これは、優れた数学モデルが常に正しいとは限らないことを意味することに注意してください。でも大丈夫です。一般化可能性が目標であり、学者、エンジニア、ビジネスリーダーなど、聴衆にモデルがなぜそのような動作をするのかを説明できるようにすることです。

すべてのモデルは間違っていますが、いくつかは役に立ちます。 ——George Box、1976

#機械学習と統計学では、モデルの複雑さはバイアスと分散のトレードオフと呼ばれます。高バイアス モデルは単純すぎるため、過小適合が発生しますが、高分散モデルは信号ではなくノイズを記憶するため、過適合が発生します。データ サイエンティストは、トレーニング アルゴリズムを慎重に選択し、関連するハイパーパラメータを調整することで、この微妙なバランスを達成しようと努めています。

微分方程式と機械学習の比較

メカニズムのモデリングでは、システムの根底にあるメカニズムについて仮定を立てる前に、システムを注意深く観察してレビューします。次に、データを使用してモデルを検証します。私たちの仮定は正しいでしょうか?もしそうなら、それは厳選されたメカニズムであるため、どのモデルがこのように動作するかを誰にでも説明することは完全に可能です。仮定が間違っていたとしても、それは問題ありません。時間を無駄にしただけです。大したことはありません。モデリングは結局のところ試行錯誤です。これらの仮定を調整するか、最初から始めることもできます。メカニズム モデル。通常は微分方程式の形式の方程式、またはエージェント ベースのモデルも含まれます。

データ駆動型モデリングでは、まずデータを動作させて、システムのパノラマ ビューを構築します。私たちがしなければならないのは、そのマシンのデータ品質を満たし、できれば十分なデータを確保することだけです。これが機械学習です。現象が一般の人には理解するのが難しい場合は、機械を調整してノイズを選別し、とらえどころのない信号を学習することができます。標準的な機械学習タスクには、さまざまな指標を使用して評価される回帰と分類が含まれます。ニューラル ネットワークと強化学習も普及しており、モデルを作成して驚くほど複雑な信号を学習できるようになりました。

機械学習は 1950 年代から存在していましたが、コンピューターがより強力になり、データが爆発的に増加するにつれて、人々は人工知能をどのように使用して競争上の優位性を獲得し、洞察を改善し、成長できるでしょうか? 利益は広範囲に及ぶようになりました。実践の範囲。さまざまなアプリケーション シナリオに合わせて、機械学習と微分方程式には幅広いシナリオがあります。

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