按照你的思路

var val = ul.childNodes[1].childNodes[0].nodeValue;

北京空气质量：部分要这么取，因为ul和li之间的换行(空格)也是文本节点。所以li索引应该是1

var val = ul.children[0].childNodes[0].nodeValue;

或者使用上面的children不取文本节点。

var ul = document.getElementById("source");
var elLis = ul.getElementsByTagName('li');
var elBs = ul.getElementsByTagName('b');
for(var i = 0;i<elLis.length;i++){
    console.log(elLis[i].childNodes[0].nodeValue,elBs[i].innerText)
}

    <ul id="source">
    <li>北京空气质量：<b>90</b></li>
    <li>上海空气质量：<b>70</b></li>
    <li>天津空气质量：<b>80</b></li>
    <li>广州空气质量：<b>50</b></li>
    <li>深圳空气质量：<b>40</b></li>
    <li>福州空气质量：<b>32</b></li>
    <li>成都空气质量：<b>90</b></li>
    </ul>
    <script type="text/javascript">
    var aText = [].map.call(document.querySelectorAll('#source > li'),function(e){
        return e.textContent.trim();
    });
    console.log(aText[0]);
                         
                         </script>

var source = document.querySelector('#source');
source.childNodes[0].innerText;

正确的应该是这个：document.getElementsByTagName("li")[0].innerText
0可以换成其他索引

取值不到的原因是ul.childNodes包括了子节点和文字，ul.childNodes[0]是个回车所以是没有childNodes这个属性的，你把ul.childNodes打印出来就看清楚了。

因为空格和换行会被认为是一个文本节点，所以你要遍历parent.childNodes的话，就有点麻烦，需要判断每个节点是否为文本节点不说，还需要判文本节点是否为空格或者换行等是否为为你需要的内容。
所以你可以用
var lists = ul.children
这样lists就是<li>元素的集合，不包含<ul>里面的文本节点
然后用

var val = lists[0].innerHTML

或者

var val = lists[0].childNodes[0].nodeValue