Utiliser des méthodes d'analyse fonctionnelle

Méthode de fonction analytique

①Patchwork : pour une expression analytique de fonction de la forme f[g(x)], traitez g(x) dans son ensemble, reconstituez le côté droit de l'expression sous la forme de g(x), puis remplacez g(x ) avec x, c'est ok, par exemple :

f(2x+1)=4x^2+2x+1，f(x):

Côté droit = ​​(2x+1)^2-(2x+1)+1

∴f(x)=x^2-x+1

②Méthode de substitution : Pour une expression analytique de fonction de la forme f[g(x)], soit t=g(x), x peut être représenté par t, et faites attention au domaine de définition égale lorsque f(t) est. ok, par exemple :

f[(1-x)/(1+x)]=[(1-x^2)/(1+x^2)], f(x):

Soit t=(1-x)/(1+x)

Alors : x=(1-t)/(1+t) (Remarque : t≠-1)

∴ Remplacez et obtenez :

f(t)=2t/(t^2+1) (t≠-1)

C'est-à-dire : f(x)=2x/(x^2+1) (x≠-1)

③Méthode de construction : en utilisant l'expression relationnelle donnée, vous pouvez modifier les variables dans l'expression relationnelle pour obtenir une nouvelle expression relationnelle en résolvant le système d'équations, l'expression analytique de la fonction f(x) peut être obtenue, par exemple :

Supposons que f(x) soit une fonction dont le domaine est sur (0, ﹢infini), et f(x)=2f(1/x)√x-1 (√ est le signe racine) f(x) : ( Le le but est d'éliminer f(1/x))

Soit x=1/x, on obtient :

f(1/x)=2f(x)√(1/x)-1

Mettez-le dans l'équation originale et obtenez :

f(x)=2[2f(x)√(1/x)-1]√x-1=4f(x)-2√x-1

∴f(x)=(2√x)/3+1/3

Il existe aussi la méthode des coefficients indéterminés, tu veux encore que j'en parle ? Tellement fatigué ~~~~~

Formule analytique de fonction

1. Méthode de substitution : Étant donné f(g(x)) et la formule analytique de f(x), la méthode de substitution générale peut être utilisée, plus précisément : soit t=g(x), alors f(t) peut être Obtenir la formule analytique de f(x). Après l'échange du dollar, la fourchette de valeur du nouveau dollar t doit être déterminée.

Exemple 1. On sait que f(3x+1)=4x+3, la formule analytique de f(x).

Exercice 1. Si , .

2. Méthode de correspondance : traitez g(x) sous la forme f(g(x)) dans son ensemble, organisez l'extrémité droite de l'expression analytique dans une forme contenant uniquement g(x), puis utilisez x pour g( x) remplacer. Utilisez généralement la formule du carré parfait.

Exemple 2. La formule analytique de , est connue.

Exercice 2. Si , .

3. Méthode des coefficients indéterminés : étant donné la formule analytique du modèle de fonction (telle que la fonction linéaire, la fonction quadratique, la fonction exponentielle, etc.), configurez d'abord la formule analytique de la fonction et remplacez les coefficients selon les conditions connues

Exemple 3. Soit une fonction quadratique d'une variable, , et ,

avec .

Exercice 3. Supposons que la fonction quadratique satisfasse , que l'ordonnée à l'origine de l'image sur l'axe y soit 1 et que la longueur du segment de droite intercepté sur l'axe x soit , l'expression de .

4. Méthode de résolution d'un système d'équations : la formule analytique d'une fonction abstraite est souvent construite en transformant des variables pour former une équation pour former un système d'équations, et la formule analytique de f(x) est utilisée en utilisant la méthode d'élimination.

Exemple 4. Supposons que la fonction soit une fonction définie sur (-∞, 0) ∪ (0, + ∞), et satisfasse la relation , l'expression analytique de .

Exercice 4. Si , .

5. Utilisez la formule analytique des caractéristiques donnée : on sait généralement que lorsque x>0, la formule analytique de f(x), lorsque x

Exemple 5 Supposons qu'il s'agisse d'une fonction paire, lorsque x>0, lorsque x

Exercice 6. Pour x∈R, satisfait , et quand x∈[-1,0], quand x∈[9,10], l'expression de .

6. Méthode de récursion inductive : utilisez la formule de récursion connue pour écrire plusieurs éléments, utilisez l'idée de séquences pour trouver les règles et obtenez la formule analytique de f(x). (formule générale)

Exemple 6. Soit une fonction définie sur , et , , la formule analytique de .

Parfois, la preuve nécessite une induction mathématique pour prouver la conclusion.

Exercice 5. Si , et ,

Valeur .

Question 7. Supposons , rappelez-vous , .

7. Méthode des points associés : généralement, configurez deux points, l'un est connu et l'autre inconnu, trouvez la connexion entre les deux points en fonction des points connus, représentez les points connus comme des points inconnus et enfin remplacez-les dans l'analyse. des points connus, faites le tri. (Méthode de trajectoire)

Exemple 7 : On sait que l'image de la fonction y=f(x) et l'image de y=x2+x sont symétriques par rapport au point (-2,3), et la formule analytique de f(x).

Exercice 8. Fonction connue, lorsque le point P(x,y) se déplace sur l'image de y=, le point Q() est sur l'image de y=g(x), fonction g(x).

8. Méthode des valeurs spéciales : Généralement, une fonction abstraite sur x et y est connue, et un nombre inconnu y est supprimé en utilisant une valeur spéciale pour obtenir une expression analytique sur x.

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