Corrélation entre la fonction de perte et la fonction de probabilité

La fonction de perte et la fonction de vraisemblance sont deux concepts importants dans l'apprentissage automatique. La fonction de perte est utilisée pour évaluer la différence entre les prédictions du modèle et les résultats réels, tandis que la fonction de vraisemblance est utilisée pour décrire la vraisemblance de l'estimation du paramètre. Ils sont étroitement liés car la fonction de perte peut être considérée comme la valeur négative de la fonction log-vraisemblance. Cela signifie que minimiser la fonction de perte équivaut à maximiser la fonction de vraisemblance, améliorant ainsi la précision de l'estimation des paramètres. En optimisant la fonction de perte, nous sommes en mesure d'ajuster les paramètres du modèle pour mieux ajuster les données et améliorer la précision des prédictions. Par conséquent, dans l’apprentissage automatique, la compréhension et l’application des fonctions de perte et des fonctions de vraisemblance sont très importantes.

Tout d’abord, comprenons le concept de fonction de perte. La fonction de perte est une fonction scalaire qui mesure la différence entre le résultat prévu ŷ du modèle et le résultat réel y. Dans l'apprentissage automatique, les fonctions de perte couramment utilisées incluent la fonction de perte carrée et la fonction de perte d'entropie croisée. La fonction de perte au carré peut être définie de la manière suivante :

L(ŷ,y)=(ŷ-y)²

La fonction de perte au carré est utilisée pour mesurer l'erreur quadratique entre les résultats de prédiction du modèle et le vrai résultat, plus l'erreur est grande. Plus elle est petite, meilleures sont les performances du modèle.

Ci-dessous, nous explorerons plus en détail le concept de fonction de vraisemblance. La fonction de vraisemblance est une fonction concernant le paramètre θ, qui décrit la probabilité que les données observées se produisent compte tenu du paramètre θ. En statistiques, nous utilisons souvent l'estimation du maximum de vraisemblance (MLE) pour estimer les paramètres θ. L'idée de l'estimation du maximum de vraisemblance est de sélectionner le paramètre θ qui maximise la fonction de vraisemblance. En maximisant la fonction de vraisemblance, nous pouvons trouver les valeurs de paramètres les plus probables compte tenu des données et ainsi estimer les paramètres.

En prenant la distribution binomiale comme exemple, en supposant que la probabilité d'observer k succès dans n essais est p, alors la fonction de vraisemblance peut être exprimée comme suit :

L(p)=(n choisissez k)* p ^k*(1-p)^(n-k)

où (n choisissez k) représente le nombre de combinaisons réussies de k essais sélectionnés parmi n essais. L’objectif de l’estimation du maximum de vraisemblance est de trouver une valeur p optimale qui maximise la probabilité des données observées sous cette valeur p.

Regardons maintenant la relation entre la fonction de perte et la fonction de vraisemblance. Dans l'estimation du maximum de vraisemblance, nous devons trouver un ensemble de paramètres θ tels que la fonction de vraisemblance des données observées soit maximisée sous ce paramètre. Par conséquent, nous pouvons considérer la fonction de vraisemblance comme une cible d'optimisation, et la fonction de perte est la fonction utilisée pour optimiser pendant le processus de calcul réel.

Ensuite, regardons un exemple simple pour illustrer la relation entre la fonction de perte et la fonction de vraisemblance. Supposons que nous ayons un ensemble de données {(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}, où xi est la caractéristique d'entrée et yi est l'étiquette de sortie. Nous espérons utiliser un modèle linéaire pour ajuster ces données. La forme du modèle est la suivante :

ŷ=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θmxm

où, θ0, θ1, θ2,…, θm sont les paramètres du modèle. Nous pouvons résoudre ces paramètres en utilisant les moindres carrés ou l’estimation du maximum de vraisemblance. L'objectif est de trouver un ensemble de paramètres θ qui minimisent la somme des carrés des pertes de toutes les données. Il peut être résolu par des méthodes telles que la descente de gradient.

Dans l'estimation du maximum de vraisemblance, nous pouvons utiliser la fonction de vraisemblance pour décrire la possibilité de données observées sous le paramètre θ, c'est-à-dire :

L(θ)=Πi=1^n P(yi|xi ;θ )

où, P(yi|xi;θ) est la fonction de densité de probabilité de l'étiquette de sortie yi sous le paramètre θ et compte tenu de la caractéristique d'entrée xi. Notre objectif est de trouver un ensemble de paramètres θ qui maximise la fonction de vraisemblance. Il peut être résolu en utilisant des méthodes telles que la montée en pente.

Maintenant, nous pouvons constater que la relation entre la fonction de perte et la fonction de vraisemblance est très étroite. Dans les moindres carrés, la fonction de perte au carré peut être considérée comme le négatif de la fonction log-vraisemblance. Dans l'estimation du maximum de vraisemblance, nous pouvons considérer la fonction de vraisemblance comme l'objectif d'optimisation, et la fonction de perte est la fonction utilisée pour l'optimisation pendant le processus de calcul réel.

En bref, la fonction de perte et la fonction de vraisemblance sont des concepts très importants dans l'apprentissage automatique et les statistiques. La relation entre eux est étroite et la fonction de perte peut être considérée comme l’opposé de la fonction log-vraisemblance. Dans les applications pratiques, nous pouvons choisir des fonctions de perte et des fonctions de vraisemblance appropriées pour optimiser le modèle en fonction de problèmes spécifiques.

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