Steinspiel II

1140. Steinspiel II

Schwierigkeit:Mittel

Themen:Array, Mathematik, dynamische Programmierung, Präfixsumme, Spieltheorie

Alice und Bob setzen ihre Spiele mit Steinhaufen fort. Es gibt eine Reihe von Stapeln, diein einer Reihe angeordnet sind, und jeder Stapel hat eine positive ganze Zahl von Steinstapeln[i]. Das Ziel des Spiels ist es, am Ende die meisten Steine zu haben.

Alice und Bob wechseln sich ab, wobei Alice als Erste beginnt. Anfangs ist M = 1,

Wenn jeder Spieler an der Reihe ist, kann dieser Spieleralle Steinein denerstenX verbleibenden Stapeln nehmen, wobei 1 <= X <= 2M. Dann setzen wir M = max(M, X).

Das Spiel geht weiter, bis alle Steine genommen wurden.

Vorausgesetzt, Alice und Bob spielen optimal, geben Siedie maximale Anzahl an Steinen zurück, die Alice bekommen kann.

Beispiel 1:

• Eingabe:Stapel = [2,7,9,4,4]
• Ausgabe:10
• Erklärung:Wenn Alice am Anfang einen Stapel nimmt, nimmt Bob zwei Stapel, dann nimmt Alice wieder 2 Stapel. Alice kann insgesamt 2 + 4 + 4 = 10 Stapel bekommen. Wenn Alice zu Beginn zwei Stapel nimmt, kann Bob alle drei verbleibenden Stapel nehmen. In diesem Fall erhält Alice insgesamt 2 + 7 = 9 Stapel. Also geben wir 10 zurück, da es größer ist.

Beispiel 2:

• Eingabe:Stapel = [1,2,3,4,5,100]
• Ausgabe:104

Einschränkungen:

• 1 <= Pfahllänge <= 100
• 1 <= Stapel[i] <= 10⁴

Hinweis:

1. Verwenden Sie dynamische Programmierung: Die Zustände sind (i, m) für die Antwort von Stapeln[i:] und das bei gegebenem m.

Lösung:

Wir müssen dynamische Programmierung verwenden, um die maximale Anzahl an Steinen zu ermitteln, die Alice erhalten kann, wenn beide Spieler optimal spielen. Hier ist ein schrittweiser Ansatz zur Entwicklung der Lösung:

1. Definieren Sie den Zustand und den Übergang:

   • Definieren Sie ein 2D-DP-Array, wobei dp[i][m] die maximale Menge an Steinen darstellt, die Alice ab Stapel i mit einem maximalen Auswahllimit m sammeln kann.
   • Verwenden Sie ein Präfix-Summen-Array, um die Summe der Steine in Unterarrays effizient zu berechnen.

2. Basisfall:

   • Wenn keine Steine mehr zum Pflücken übrig sind, beträgt die Punktzahl 0,

3. Rekursiver Fall:

   • Berechnen Sie für jeden Stapel i und die maximal zulässige Auswahl m die maximale Menge an Steinen, die Alice sammeln kann, indem Sie alle möglichen Züge berücksichtigen (wobei 1 bis 2 m Stapel genommen werden).

4. Übergangsfunktion:

   • Berechnen Sie für jede mögliche Anzahl von Stapeln, die Alice auswählen kann, die Gesamtzahl der Steine, die Alice erhalten kann, und verwenden Sie die Ergebnisse zukünftiger Zustände, um den optimalen Zug zu entscheiden.

Lassen Sie uns diese Lösung in PHP implementieren:1140. Steinspiel II

        stoneGameII($piles1) . "\n"; // Output: 10 echo $solution->stoneGameII($piles2) . "\n"; // Output: 104 ?>
Erläuterung:
        

         
Berechnung der Präfixsumme:Dies hilft bei der schnellen Berechnung der Summe der Steine von jedem Stapel i bis j.
         
DP-Array-Initialisierung:dp[i][m] enthält die maximalen Steine, die Alice ausgehend von Stapel i erhalten kann, mit einem maximalen Auswahllimit von m.
         
Dynamischer Programmierübergang:Berechnen Sie für jeden Stapel und jedes m die maximale Menge an Steinen, die Alice sammeln kann, indem Sie die möglichen Stapelanzahlen durchlaufen, die sie aufnehmen kann, und das DP-Array entsprechend aktualisieren.
        
Dieser Ansatz stellt sicher, dass die Lösung effizient berechnet wird, und nutzt die Vorteile der dynamischen Programmierung, um redundante Berechnungen zu vermeiden.
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