求和序列 (n^2-1^2) + 2(n^2-2^2) +….n(n^2-n^2)

在本文中，我们将研究计算序列和的不同方法- (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n(n^2 - n^2)。在第一种方法中，我们将逐个计算范围为1到n的每个i的序列和，并将其添加到最终和中。

在第二种方法中，我们将推导出一个数学公式来计算给定系列的总和，这将使程序的时间复杂度从O(n)降低到O(1)。

问题陈述 − 我们给定一个数字“n”，我们的任务是计算给定序列的和 (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n (n^2 - n^2)。

Example

输入 − 数字 = 5

输出 - 当n = 5时，级数 (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n(n^2 - n^2) 的和为150。

输入 − 数字 = 3

输出 - 对于n = 3，级数（n^2 - 1^2）+ 2（n^2 - 2^2）+ ….n（n^2 - n^2）的和为18。

方法一

这是最简单的暴力方法来解决序列求和问题。

经过仔细分析这个数列，我们可以得出结论：对于任意一个数n，我们有

Sum = ∑ i*(n^2 - i^2) for i = 1 to i = n.

因此，对于暴力破解方法，我们可以在循环中使用上述公式，i从1到n，以生成所需的求和。

Example

这种方法的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
   int num = 3;
   long long sum=0;
   for (int i=1  ; i<num ; i++ ) {
      sum = sum+i*( num*num - i*i );
   }
   cout<< " The sum of the series (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n(n^2 - n^2) for n = " << num << " is " <<sum;
   return 0;
}

输出

The sum of the series (n^2 - 1^2) + 2(n^2 - 2^2) + …. n(n^2 - n^2) for n = 3 is 18

复杂性

时间复杂度 - O(n)，因为我们通过循环迭代从1到n的数字。

空间复杂度 - 由于我们没有使用任何外部空间，因此该方法的空间复杂度为O(1)。

方法二

在这种方法中，我们将推导出一个公式，直接得到所需的序列和，因此不需要迭代，这种方法将以常数时间复杂度解决给定的问题。

如前所述，我们得到了系列的一般版本，给定为

Sum = ∑ i*(n^2 - i^2) for i = 1 to i = n.

同一系列可以写成：

Sum =  n^2∑ i - ∑ i^3

我们已经知道计算从1到n的所有数字的和以及计算从1到n的所有数字的立方和的公式，分别为：

从1到n的所有数字的总和

n* ( n+1 )/2 

其中 n 是给定的数字。

现在，求从1到n的所有数字的立方和

(n*( n+1 )/2)^2

所以给定的系列可以写成-

Sum = n^2 * ( n*( n+1 )/2 ) – ( n*( n+1 )/2 )^2

Sum可以进一步简化为-

Sum = ( n * (n+1)/2 )*( n^2 - ( n * (n+1)/2 ))
Sum = n^2 * ( n+1 )/2 * ( n^2 – (n * ( n+1))/2)
Sum = n^2 * ( n+1 ) * ( n-1 )/4
Sum = n^2 * ( n^2 -1 )/4
Sum = (n^4)/4 – (n^2)/4

因此，我们只需要计算Sum = (n^4)/4 - (n^2)/4，对于任何n，以得到所需的序列的和。

Example

这种方法的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
   int num = 5;
   long long sum = 0;
   sum = num*num*(num*num-1)/4;
   cout<< " The sum of the series (n^2-1^2) + 2(n^2-2^2) + …. n(n^2-n^2) for n = " << num << " is " <<sum;
   return 0;
}

输出

The sum of the series (n^2-1^2) + 2(n^2-2^2) + …. n(n^2-n^2) for n = 5 is 150

复杂性

时间复杂度 - O(1)，因为我们只是使用我们推导出的公式计算所需的总和。

空间复杂度 - 由于我们没有使用任何外部空间，因此该方法的空间复杂度为O(1)。

结论 - 在本文中，我们讨论了计算所需系列总和的两种方法，并且在第二种方法中，我们将时间复杂度降低到常数。

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