如何优化数论变换 (NTT) 和模运算以加快计算速度，尤其是对于非常大的数字（例如超过 12000 位）？-C++-PHP中文网

如何优化数论变换 (NTT) 和模运算以加快计算速度，尤其是对于非常大的数字（例如超过 12000 位）？

Barbara Streisand

发布： 2024-12-16 03:13:18

原创

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How can I optimize my Number Theoretic Transform (NTT) and modular arithmetic for faster computation, especially with very large numbers (e.g., over 12000 bits)?

模算术和NTT（有限域DFT）优化

问题陈述

我想使用NTT来快速平方（请参阅快速 bignum 平方计算），但即使对于非常大的数字，结果也很慢......超过12000 位。

所以我的问题是：

< ;ol>

有没有办法优化我的NTT变换？我并不是想通过并行性（线程）来加速它；这只是低级层。

有办法加快我的模块化算术吗？

这是我的（已经优化的）NTT C 源代码（它是完整的并且 100% 可以在C 不需要任何第三方库，并且也应该是线程安全的，请注意源数组被用作临时数组！！！，而且它不能将数组转换为自身）。

优化解决方案

使用预先计算的幂：预先计算并存储幂W 和 iW（单位原根及其逆），以避免在 NTT 过程中重新计算它们。这可以显着减少乘法和除法的次数，从而加快计算速度。
展开循环：展开 NTT 算法中的循环以减少与循环迭代相关的开销。这样可以通过减少分支指令的数量来提高性能。
优化模运算：使用按位运算和汇编语言高效地实现模运算（加、减、乘、幂）。这可以消除不必要的分支和条件语句，从而加快执行速度。

示例实现

以下是使用预计算幂和按位运算的 C 语言优化 NTT 实现的示例：

class NTT {
public:
    NTT() {
        // Initialize constants
        p = 0xc0000001;
        W = modpow(2, 0x30000000 / n);
        iW = modpow(2, p - 1 - 0x30000000 / n);
        rN = modpow(n, p - 2);
        NN = n >> 1;

        // Precompute W and iW powers
        WW = new uint32_t[n];
        iWW = new uint32_t[n];
        WW[0] = 1;
        iWW[0] = 1;
        for (uint32_t i = 1; i < n; i++) {
            WW[i] = modmul(WW[i - 1], W);
            iWW[i] = modmul(iWW[i - 1], iW);
        }
    }

    void NTT(uint32_t *dst, uint32_t *src, uint32_t n) {
        if (n > 0) {
            // Reorder even, odd elements
            for (uint32_t i = 0, j = 0; i < NN; i++, j += 2) {
                dst[i] = src[j];
            }
            for (j = 1; i < n; i++, j += 2) {
                dst[i] = src[j];
            }

            // Recursive NTT
            NTT(src, dst, NN);  // Even
            NTT(src + NN, dst + NN, NN);  // Odd

            // Restore results
            for (uint32_t i = 0, j = NN; i < NN; i++, j++) {
                uint32_t a0 = src[i];
                uint32_t a1 = modmul(src[j], WW[i]);
                dst[i] = modadd(a0, a1);
                dst[j] = modsub(a0, a1);
            }
        }
    }

private:
    uint32_t p, n, NN, W, iW, rN;
    uint32_t *WW, *iWW;

    // Modular arithmetic operations
    inline uint32_t modadd(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t d = a + b;
        if (d >= p) d -= p;
        return d;
    }

    inline uint32_t modsub(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t d = a - b;
        if (d > a) d += p;
        return d;
    }

    inline uint32_t modmul(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t m = (uint64_t)a * b;
        return m - (p * (m / p));
    }

    inline uint32_t modpow(uint32_t a, uint32_t b) {
        if (b == 0) return 1;
        uint32_t t = modpow(a, b / 2);
        t = modmul(t, t);
        if (b &amp; 1) t = modmul(t, a);
        return t;
    }
};

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