MATLAB 的反斜杠运算符 (\\) 如何求解线性方程?
MATLAB 的 mldivide 运算符如何求解线性方程
MATLAB 的 mldivide 运算符,也称为反斜杠运算符“”,是一种多功能计算工具以矩阵形式表示的线性系统的解。它包含各种算法来处理不同类型的输入矩阵,以确保效率和数值稳定性。
非方矩阵的算法选择:
对于非方矩阵,反斜杠运算符采用 QR 分解来确定解。 QR 分解将矩阵 A 分解为正交向量 Q 和上三角矩阵 R。然后通过求解上三角方程组 R (Q' * b) 得到解 x。
Square 的算法选择矩阵:
对于方阵,mldivide 诊断矩阵并根据其选择适当的算法特征:
- 三角矩阵(下或上):直接进行前向或后向替换。
- 对称正定矩阵:使用 Cholesky 分解更快、更稳定
- 一般方阵: LU 分解用于前向和后向替换的组合。
特殊情况:
- 如果A是奇异或矩形,可以使用伪逆(pinv)方法用于最小范数最小二乘解。
- 对于稀疏矩阵,MATLAB 利用迭代求解器和 UMFPACK 等外部库。
- 对于 GPU 上的计算,mldivide 利用 cuBLAS 和 MAGMA。
- 对于分布式数组,ScaLAPACK 用于求解分布式计算中的线性系统
实现 mldivide:
在自定义矩阵库中实现 mldivide 的全部功能将是一项重大工作。然而,通过了解底层算法并使用特定矩阵类型的现有库(例如,用于稠密矩阵的 LAPACK、用于稀疏矩阵的迭代求解器),可以为线性系统构建相当高效且通用的求解器。
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