如何使用递归方法找到包含 n 个元素的集合的所有可能子集？

查找集合的所有子集

在计算机科学中，查找给定集合的所有子集是一个经典问题。问题如下：

问题：

如何确定包含 n 个元素的集合的所有可能子集？

解决方案：

解决这个问题的一个直接方法是递归。这个概念围绕着这样的想法：

• 对于 n=1，子集是 {{}, {1}}
• 对于 n>1，我们可以划分子集1,...,n-1 分为两组：包含 n 的组和不包含 n 的组。组合这些组会产生 1,...,n 的子集。

示例：

考虑 n=5。

1. 求 1,...,4 的子集：{{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4 }, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4 }, {1, 2, 3, 4}}
2. 创建一个副本并向每个子集添加 5 个：{{5}, {1, 5}, {2, 5}, {3, 5} , {4, 5}, {1, 2, 5}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}}
3. 取原始集合和修改后集合的并集：{{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}、{1, 3}、{1, 4}、{1, 5}、{2, 3}、{2, 4}、{2, 5}、{3, 4}、{3, 5} , {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}}

C 实现：

#include <vector>

using namespace std;

vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
    if (nums.empty()) return {{}};

    vector<vector<int>> prev = subsets(vector<int>(nums.begin(), nums.end() - 1));
    vector<vector<int>> curr;

    for (auto& subset : prev) {
        curr.push_back(subset);
        subset.push_back(nums.back());
        curr.push_back(subset);
    }

    return curr;
}

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