MATLAB 的 mldivide 运算符如何求解线性系统？

实现 MATLAB 的 mldivide 运算符

MATLAB 的反斜杠运算符 (mldivide) 是一种用于求解以矩阵形式表示的线性系统的多功能工具。虽然可以使用 Moore-Penrose 伪逆，但它与 mldivide 的等价并不总是正确。

算法选择

mldivide 根据输入矩阵的特征采用各种算法：

• 已满矩阵：

  • 方阵：

    • 下/上三角：前向/后向替换
    • 对称：Cholesky 分解
    • 将军：LU分解
  • 矩形矩阵：QR分解

• 稀疏矩阵：

  • 可以使用以下方式启用诊断信息spparms()
  • 通常使用 SuiteSpase 的直接求解器

• gpuArray 和分布式数组：

  • 用于 GPU 的 cuBLAS 和 MAGMA执行
  • 用于分布式计算的ScaLAPACK

实现算法

要在您的库中实现这些算法，您需要可以参考MATLAB中提供的伪代码文档：

• 三角矩阵的前向/后向替换
• 对称矩阵的 Cholesky 分解
• 一般方阵的 LU 分解
• QR 分解非方矩阵
• SVD 分解以求最小二乘解决方案

注意事项

除了选择最佳算法之外，以下注意事项也很重要：

• 使用特定的求解器已知A矩阵可以提高效率
• 稀疏矩阵需要不同的求解器，比如与 SuiteSpase 中的
• MATLAB 还支持 gpuArrays 和分布式数组的计算

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