如何优化有限范围内的素数映射？

在有限范围内优化素数映射

识别给定范围内的素数是一个基本的数学问题。最终目标是设计一种算法，最大限度地减少内存消耗，同时有效识别指定限制 N 以内的数字的素数。

现有方法：位掩码奇数

一个对于奇数的方法是使用位掩码，其中每个位代表相应数字的素数状态。例如，范围 (1, 10] 将表示为 1110，其中 1 表示素数 (3, 5, 7, 9)。

细化位掩码

但是，可以通过消除 5 的倍数来改进这种方法。对于给定范围，修改后的位掩码变为 11100。但是，以 1、3、7 或 9 结尾的数字仍然需要单独的位。

最佳解决方案

此特定问题的最紧凑算法因范围和可用计算资源而异。

1. AKS 算法： AKS 是一般素数测试最有效的算法，但是，对于大范围来说，它的计算成本很高。
2. 特殊素数： 对于大范围，请考虑查找具有特定形式的素数，例如 Mersenne。
3. Python 实现： 对于有限的范围，可以使用 O(sqrt(N)) 算法的变体：

<code class="python">def isprime(n):
    if n == 2:
        return True
    if n == 3:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    if n % 3 == 0:
        return False

    i = 5
    w = 2

    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            return False

        i += w
        w = 6 - w

    return True</code>

其他优化

1. 费马伪素数测试：对于受限范围，此测试可以显着提高速度。
2. 预计算误报：通过识别满足费马定理但不是素数的数字（卡迈克尔数），可以使用二分搜索进行更快的测试。

具体的优化策略取决于所需的所考虑的特定数字范围的性能和内存限制。

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