112233

.border{
  position: relative;
    border: 4px solid transparent;
    border-radius: 16px;
    background: linear-gradient(orange, violet);
    background-clip: padding-box;
    padding: 10px;
    /* just to show box-shadow still works fine */
    box-shadow: 0 3px 9px black, inset 0 0 9px white;
}
.border::after{
    position: absolute;
    top: -4px; bottom: -4px;
    left: -4px; right: -4px;
    background: linear-gradient(red, blue);
    content: '';
    z-index: -1;
    border-radius: 16px;
}

我个人的理解是，1，border-radius是一个边框的样式，当没有边框的时候会作用到背景上。

2.border-image也是边框的一个属性，但是一旦这个属性无法显示才会显示border的默认样式，例如

border:15px solid #F33;

所以一旦有了border-image，浏览器应用了之后，这是为什么有了border-image之后border-radius和border不显示的原因。
3.如果想要同时拥有这两种样式，我支持楼上的两位大神的做法~因为鱼和熊掌不可兼得。
以上，是我的个人看法~如有不正之处，请指正谢谢。
附：我查阅资料的一个网站 border-image

再嵌套一层，设置外层的圆角 + overflow:hidden。

.border{

width:90px;
height:90px;
border:15px solid #F33;
margin:20px auto;
border-image:linear-gradient(to top, red, orange, yellow) 25;
border-radius:25px;
position:relative;

}
.border::after{

content:"";
width:100px;
height:100px;
position:absolute;
top:-5px;
left:-5px;
z-index:10;
border-radius:15px;
background-color:#6CF;

}

border-radius
这个可以吧 我映象中一直用这个