C++中的二元堆和二元搜尋樹

在C 程式設計中，二元堆和二元搜尋樹是兩個常用的資料結構，它們具有相似之處，但也有著不同點。本文將分別介紹二元堆和二元搜尋樹的概念、基本操作及其應用場景。

一、二元堆

1.1 概念

二元堆是一種完全二元樹，滿足以下兩種性質：

1.1.1 堆序性

堆序性指在一個二元堆中，每個節點的值都不大於（或不小於）其父節點的值。這裡以最大堆為例，根節點的值是整個樹中最大的值，而所有子節點的值都小於等於根節點的值。

1.1.2 完全二元樹性質

除了最底層之外，其他層都必須填滿，且所有節點都必須向左對齊。

這裡以如下的陣列來表示一個最大堆：

[ 16, 14, 10, 8, 7, 9, 3, 2, 4 , 1 ]

則其對應的堆疊如下圖所示：

16

/
14 10
/ /
8 7 9 3
/
2 4

1

1.2 基本操作

1.2.1 插入操作

在一個二元堆中插入一個新元素的操作，採用「上濾」（sift up）的方法進行調整：

• 將新元素插入到堆底最左邊的空位；
• #將新元素和它的父節點進行比較，如果新元素的值比其父節點大，則交換兩者的位置，重複此過程直到新元素不再比其父節點大，或到達堆頂。

1.2.2 刪除操作

在一個二元堆中刪除堆頂元素的操作，並採用「下濾」（sift down）的方法進行調整：

• 將堆頂元素和堆底最右邊的元素互換；
• 刪除原來的堆頂元素;
• 將新的堆頂元素逐層與其子節點進行比較，如果它的值小於子節點中的最大值，則將它與子節點中的最大值交換，重複此過程直到滿足堆序性。

1.3 應用場景

二元堆疊常用來實作優先佇列，以及基於堆的排序演算法，如堆排序、topK問題等。

二、二元搜尋樹

2.1 概念

二元搜尋樹（Binary Search Tree，BST）是一種有序樹，滿足以下性質：

2.1.1 左子樹上所有節點的值都小於它的根節點的值。

2.1.2 右子樹上所有節點的值都大於它的根節點的值。

2.1.3 左、右子樹也分別為二元搜尋樹。

如下樹為例：

    6
  /   
 2     7

/
1 4 9

   /    /
  3   5 8

則它是一棵二元搜尋樹。

2.2 基本操作

2.2.1 尋找操作

在在二元搜尋樹中尋找一個節點的操作，其實質就是不斷地比較要查找的節點值與當前節點值的大小，並沿著左/右子樹遞歸查找。

2.2.2 插入操作

在二元搜尋樹中插入新節點的操作，需要從根節點開始進行比較，並找到其應該插入的位置，插入後需要滿足二元搜尋樹的性質。

2.2.3 刪除操作

在二元搜尋樹中刪除一個節點的操作，分成三種情況：

• 要刪除的節點是葉子節點，直接刪除即可；
• 要刪除的節點只有一個子節點時，用它的子節點替換該節點；
• 要刪除的節點有兩個子節點時，用該節點右子樹的最小節點代替該節點，並將該節點右子樹的最小節點刪除。

2.3 應用場景

二元搜尋樹常用於實作字典、符號表等具有尋找和插入操作的場景，其中的尋找效能與資料的分佈有關。

三、二元堆和二元搜尋樹的比較

3.1 相似之處

二元堆和二元搜尋樹都是二元樹，具有一些相同的性質：

• 根節點的初始位置皆可以是任意節點；
• 都可以用來實現優先權佇列；
• 插入和刪除的時間複雜度均為O(logn)。

3.2 不同之處

二元堆和二元搜尋樹之間也有一些明顯的不同點：

3.2.1 資料分佈

在二元堆中，元素沒有任何規律地分佈在各個節點中，只需保證每個節點都滿足堆序性即可；而在二元搜尋樹中，元素的大小有特定的排序規則，即滿足左小右大的性質。

3.2.2 最小/最大值的存取

在二元堆中，可以O(1)地存取到最大/最小值，即在根節點中得到，但是存取其他元素的時間複雜度為O(logn)；而在二元搜尋樹中，找出最小/最大值需要遍歷子樹，時間複雜度也為O(logn)。

3.2.3 刪除和插入操作

在二元堆中，每次刪除和插入操作都必須遵循堆序性，即O(logn)的時間複雜度；而在在二元搜尋樹中，尋找一個節點和插入一個新節點的時間複雜度與樹的高度相關，因此最壞情況下可能需要O(n)的時間複雜度。

3.3 選型建議

在選擇二元堆和二元搜尋樹時，需要根據應用場景的具體情況進行選擇。

如果需要快速地取得最小/最大值，並且對元素的大小沒有特殊要求，可以優先選擇二元堆。

如果需要快速地插入/刪除元素，並且需要元素的大小有一定的排序規律，可以考慮選擇二元搜尋樹。

四、 結論

綜上所述，二元堆和二元搜尋樹都是比較重要的資料結構，在不同的場景下有著各自的優缺點。了解二元堆和二元搜尋樹的概念、基本操作及其應用場景對於編寫高效的程式具有重要的意義。

以上是C++中的二元堆和二元搜尋樹的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！