為什麼浮點加法不總是遵循結合律？

浮點算術：關聯性問題

當涉及數學運算時，關聯性規定操作數的順序不會影響結果。然而，在浮點運算領域，結合性並不總是成立。這可能會導致意想不到的結果，正如程式設計師面臨的一個常見問題所示。

考慮這個例子：

cout << ((0.7 + 0.2 + 0.1) == 1) << endl; // Output: 0
cout << ((0.7 + 0.1 + 0.2) == 1) << endl; // Output: 1

令人困惑的是，與 1 的比較會根據中的順序產生不同的結果。其中浮點數值相加。為什麼會發生這種情況？

浮點加法的非結合性質

這種行為背後的罪魁禍首在於浮點運算本身的性質。浮點數使用有限位數表示，這在執行運算時會引入捨入誤差。這種不精確性可能表現為與預期結合律的偏差。

正如權威論文《每個電腦科學家應該了解浮點運算》中所解釋的，以下經驗法則適用：

示例：

If x = 1e30, y = -1e30, and z = 1, then:

(x + y) + z = 1
x + (y + z) = 0

對程式設計師的影響

理解浮點加法的非結合性對於準確程式設計至關重要。為了避免意外結果，程式設計師應遵循以下準則：

• 明確使用括號：始終使用括號來明確定義浮點計算的運算順序。
• 避免過度依賴結合性：不要假設加法的順序或乘法對於浮點變數並不重要。
• 考慮浮點特定演算法：研究專為浮點運算設計的演算法，以解決潛在的精確度問題。

遵守這些準則，程式設計師可以減輕浮點運算中結合性限制的影響，並確保程式準確且可預測行為。

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