理解並實現大數的 Karatsuba 乘法演算法

在計算數學中，有效地乘以大數是從密碼學到科學計算等各種應用的基石。 Karatsuba 乘法演算法 是一種分而治之的方法，與傳統的大數長乘法相比，它顯著提高了效能。在本文中，我們將探索這種強大演算法的 JavaScript 實現，該演算法旨在處理表示為字串的任意大數字。

傳統乘法的問題

標準的「教科書」乘法方法的時間複雜度為 $(O(n^2））$(O(n2）) ， 在哪裡 $(n)$(n) 是被相乘的數字的位數。隨著數字變大，這種二次增長在計算上變得昂貴。 Anatolii Karatsuba 於 1960 年提出的 Karatsuba 演算法將這種複雜性降低到大約 $(O(n^{\mathrm{}}nn1.585$)(O(n^{1.585})) (O(n1.585

，使其成為大輸入的更快選擇。

1. 除法：將每個數字分成兩半－高部份和低部份。
2. 征服： 遞歸計算三個關鍵乘積：這涉及為每個遞歸步驟計算以下組件：
   • $z_0=\text{低1}\times \text{低2}$z0​ =低1×低2×低2×
   • > ${}_{\mathrm{}}z1=1====$低1 高1）×（低2 high2)z_1 = (text{low1} text{high1}) 次 (text{low2} text{high2}) z11
   • 1${}_{\mathrm{}}=\text{(}low1高1（$低2高2） z2 =high1×high2z_2 = 文本{high1} 乘以文本{high2}
3. z
   $${}_{\mathrm{}}=\mathrm{high1}\times {\mathrm{}}^{\times \mathrm{}高>\; >}組合：使用公式：{}_{\mathrm{}}=z_{2}z2{}_{\mathrm{\cdot }}10\mathrm{}2{\mathrm{\cdot }}^m{(}_{\mathrm{}}$$結果= z z2⋅⋅1⋅1 >2⋅m(z1 −z22−z 0)）1)1） 0 米
   0 在哪裡 $(米)$(m) 是原始數字位數的一半。

這種方法將遞歸乘法的次數從 4 次減少到 3 次，從而提高了效率。

JavaScript 實作

以下是 JavaScript 中 Karasuba 演算法的穩健實作。此版本透過將任意大整數表示為字串來支援它們。

乘法.js

實施的主要特點

1. 基礎案例最佳化：

   • 對於12位元以下的數字，演算法直接使用JavaScript的Number進行高效能乘法。

2. 任意精確度的字串運算：

   • 演算法使用字串運算來處理大數而不損失精度。

3. 輔助功能：

   • 加法 (addLargeNumbers)： 處理以字串表示的兩個大數字的相加。
   • 減法 (subtractLargeNumbers)： 借用大數來管理減法。
   • 10 次方乘法 (multiplyByPowerOf10)： 透過附加零有效地移位數字。

4. 遞迴設計：

   • 演算法遞歸地劃分每個輸入，並使用 Karatsuba 公式組合結果。

性能考慮因素

Karatsuba 演算法減少了遞歸乘法的次數 $(O(n^2））$(O(n2）) 到大約 $(O(n^{\mathrm{}}nn1.585$)(O(n^{1.585})) (O(n1.585

。這使得它比大輸入的傳統方法要快得多。然而，字串操作的開銷可能會影響較小輸入的效能，這就是為什麼基本情況最佳化至關重要。

對於：

結果是：

以上是理解並實現大數的 Karatsuba 乘法演算法的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！