Mengapa saya tidak tahu semasa saya belajar penjanaan garis: Terdapat hubungan kesetaraan antara matriks dan graf?

Apabila belajar matematik, kita sering kecewa dengan kesukaran dan keabstrakan pengetahuan yang kita pelajari; tetapi kadang-kadang, hanya dengan mengubah perspektif, kita boleh mencari penyelesaian yang mudah dan intuitif untuk masalah itu. Sebagai contoh, semasa kita mempelajari formula jumlah kuasa dua (a+b)² semasa kita masih kanak-kanak, kita mungkin tidak faham mengapa ia sama dengan a²+2ab+b² Kita hanya tahu bahawa ia ditulis seperti ini dalam buku dan guru meminta kami mengingatnya seperti ini; sehingga satu hari kami melihat saya melihat gambar animasi ini:

Saya tiba-tiba menyedari bahawa kita boleh memahaminya dari perspektif geometri!

Kini, rasa pencerahan ini muncul semula: matriks bukan negatif boleh ditukar secara sama kepada graf terarah yang sepadan!

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, matriks 3×3 di sebelah kiri sebenarnya boleh diwakili secara setara sebagai graf terarah yang mengandungi tiga nod di sebelah kanan, dan perwakilan ini sangat membantu untuk kedua-dua teori matriks dan graf.

Contoh ini datang daripada Tivadar Danka, seorang ahli matematik yang komited untuk menjadikan matematik boleh diakses oleh semua orang. Ahli matematik yang mengisytiharkan dirinya sebagai "kebaikan huru-hara" dengan jelas memperkenalkan kesetaraan matriks dan graf ini serta kegunaannya dalam satu siri tweet dan catatan blog. Sehingga kini, tweet tersebut telah dibaca lebih daripada 2 juta kali, menerima lebih daripada 3,200 tweet semula dan 9,100 kegemaran.

Valens matriks dan graf berarah

Seperti yang ditunjukkan dalam contoh di atas, jika kita menganggap setiap baris sebagai nod, setiap elemen boleh diwakili sebagai tepi terarah dan berwajaran. Sudah tentu, 0 elemen boleh diabaikan. Jika elemen terletak di baris i dan lajur j, ia sepadan dengan tepi dari nod i ke nod j.

Ini mungkin kelihatan rumit pada pandangan pertama, tetapi kita boleh melihat salah satu nod terlebih dahulu.

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah, untuk matriks 3×3 ini, baris 1 sepadan dengan nod paling atas (kami memanggilnya nod 1 di sini), yang mengandungi 3 elemen tetapi satu daripadanya ialah 0, jadi Nod ini memanjangkan dua tepi. Tepi kuning mewakili unsur 0.5 pada (1,1), jadi ia adalah tepi terarah yang menghala ke dirinya sendiri dengan berat 0.5. Begitu juga, tepi biru ialah tepi yang menghala ke nod 2 dan mempunyai berat 1.

Dengan cara ini, kita boleh menganalisis bahawa lajur ke-i matriks sepadan dengan semua tepi yang menghala ke nod ke-i.

Apakah kegunaan ungkapan setara ini?

Persamaan antara matriks bukan negatif dan graf terarah ini bukan sahaja dapat membantu kita memahami dengan lebih baik matriks dan operasinya, tetapi juga membantu memudahkan beberapa proses pengiraan, ini juga boleh membantu kita bermula dari rajah Pemahaman perspektif baharu.

Sebagai contoh, kuasa matriks sepadan dengan berjalan dalam graf.

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, untuk kuasa ke-k bagi matriks persegi n×n A, proses penjumlahan setiap elemen akan menggabungkan semua kemungkinan berjalan langkah-k.

Sebagai contoh, andaikan kita ingin mengira kuasa dua matriks 3×3 di atas. . = 0.45. Akhirnya, kita boleh mendapatkan hasil yang lengkap sebagai:

Tetapi jika kita menggunakan kaedah graf berjalan di atas, kita boleh mendapatkan hasilnya dengan berjalan di laluan. Begitu juga, untuk elemen pertama matriks hasil, kita perlu merumuskan semua laluan berjalan 2 langkah yang memenuhi a_{1,l}→a_{l,1}.

Walau bagaimanapun, jika graf terarah ini mewakili keadaan rantai Markov, kuasa dua matriks kebarangkalian peralihannya pada asasnya mewakili kebarangkalian rantai mencapai keadaan tertentu selepas 2 langkah.

Bukan itu sahaja, menggunakan graf untuk mewakili matriks juga boleh memberi kita pemahaman yang mendalam tentang struktur matriks bukan negatif. Untuk melakukan ini, Danka berkata kita perlu terlebih dahulu memahami konsep "komponen bersambung kuat."

Komponen bersambung kuat

Apakah komponen bersambung kuat? Untuk graf terarah, jika setiap nod lain dalam graf boleh dicapai dari setiap nod, kita katakan bahawa graf itu bersambung kuat. Seperti yang ditunjukkan di bawah.

Komponen bersambung kuat merujuk kepada bahagian/subgraf dalam graf terarah yang boleh mencapai ketersambungan yang kuat. Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, terdapat komponen bersambung kuat di kiri dan kanan, manakala tepi putih di tengah tidak tergolong dalam mana-mana komponen bersambung kuat.

Rajah di bawah menunjukkan satu lagi contoh, di mana bahagian kuning ialah komponen bersambung kuat:

Matriks yang sepadan dengan graf bersambung kuat ialah matriks tidak boleh dikurangkan, manakala semua matriks lain dalam matriks bukan negatif adalah matriks boleh dikurangkan.

Danka menerangkan dengan contoh. (Demi kesederhanaan, semua pemberat dalam contoh adalah berat unit, tetapi dalam praktiknya nilai berat ini boleh menjadi sebarang nilai bukan negatif.)

Mari kita transkripsikan graf ini yang mengandungi komponen yang bersambung kuat tetapi tidak bersambung kuat sendiri ke dalam bentuk Matriks yang sepadan:

Dan matriks ini adalah matriks boleh dikurangkan.

Dapat dilihat bahawa dua submatriks pada pepenjuru utama masing-masing mewakili dua komponen bersambung kuat, dan submatriks di bahagian atas sebelah kanan mewakili tepi daripada komponen pertama bersambung kuat kepada komponen kedua bersambung kuat, satu pada kiri bawah mewakili tepi daripada komponen kedua bersambung kuat ke komponen pertama bersambung kuat (kerana tiada tepi sedemikian, semuanya adalah 0).

Bentuk penulisan matriks blok ini dipanggil Frobenius bentuk normal.

Jadi, kita secara semula jadi bertanya: Bolehkah kita menukar mana-mana matriks bukan negatif kepada matriks bentuk normal Frobenius?

Dengan menggunakan graf terarah untuk mewakili matriks bukan negatif, kita boleh melihat dengan mudah bahawa jawapannya adalah ya, kerana mana-mana graf berarah yang mewakili matriks bukan negatif boleh diwakili sebagai komponen bersambung kuat yang bersambung antara satu sama lain. Proses ini sangat mudah:

1. Bina graf terarah yang sepadan untuk matriks bukan negatif;

2. Itu sahaja!

3. Gunakan gambar untuk mendapatkan borang standard Frobenius

Jadi, apakah cara yang lebih baik ini?

Berdasarkan contoh di atas, mari kita lihat prosesnya.

Mula-mula, satukan setiap komponen yang bersambung kuat menjadi satu objek, seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Pada masa ini, kami boleh menganggap setiap komponen yang bersambung kuat sebagai kotak hitam - kami tidak mengambil berat tentang struktur dalamannya, hanya sambungan luarannya.

Langkah seterusnya adalah lebih menyusahkan: nomborkan setiap komponen supaya nombor setiap komponen adalah jarak paling jauh dari nombor 0. Contoh berikut boleh menggambarkan perkara ini dengan lebih jelas:

Anda boleh melihat bahawa terdapat dua laluan dari No. 0 ke komponen tengah, jadi pilih laluan paling jauh dari 0 untuk menomborkannya. Akhirnya dapat:

Eigentlich definiert dies die Reihenfolge der Komponenten. Beschriften Sie als Nächstes die internen Knoten jeder Komponente:

Wenn der Graph selbst aus einer Matrix stammt, kann ein solcher Umbenennungsprozess zu einer kanonischen Frobenius-Matrix führen!

Tatsächlich besteht dieser Neumarkierungsprozess darin, eine Permutationsmatrix P zu verwenden, um die ursprüngliche Matrix zu transformieren, und die Permutationsmatrix besteht aus dem Produkt mehrerer transponierter Matrizen.

Das Folgende ist die vollständige Form des Satzes:

Natürlich geht die Verwendung von Diagrammen zur Darstellung von Matrizen weit darüber hinaus. Beispielsweise können wir auch die Eigenwerte der Matrix verwenden um die Eigenwerte des Graphen zu definieren. Tatsächlich entstand aus dieser Denkweise das Forschungsgebiet der Spektralgraphentheorie.

Fazit

Offensichtlich ist diese Äquivalenzbeziehung zwischen Matrizen und Graphen nicht nur hilfreich für die Forschung zur Graphentheorie, sondern bietet auch eine neue Perspektive für die Berechnung und Analyse der linearen Algebra. Es hat auch einige wichtige praktische Verwendungsmöglichkeiten. Beispielsweise werden DNA-Daten häufig in Form von Matrizen oder Diagrammen dargestellt.

Darüber hinaus wissen wir alle, wie wichtig Matrixoperationen für die aktuelle KI mit großen Modellen sind, und durch Wissensgraphen dargestellte Diagramme werden durch Technologien wie die abrufgestützte Suche auch zu einem wichtigen Treiber der aktuellen KI. Die Verbindung beider könnte zu neuen Durchbrüchen in der Interpretierbarkeit von KI und der grafischen künstlichen Intelligenz führen. Zumindest hilft uns dies, die lineare Algebra besser zu lernen.

Tatsächlich stammt der obige Inhalt aus dem Buch „Mathematik des maschinellen Lernens“, das von Tivadar Danka geschrieben wurde. In diesem Buch wird das mathematische Wissen im Zusammenhang mit maschinellem Lernen von einer einfachen bis hin zu einer tiefgreifenden Ebene eingeführt, sodass die Leser wirklich verstehen können, was passiert und warum Danka zuversichtlich erklärt, dass dies „die beste Ressource für das Erlernen maschinellen Lernens“ sein wird. Derzeit hat er zwei Kapitelvorschauen online veröffentlicht: https://tivadardanka.com/mathematics-of-machine-learning-preview/

Atas ialah kandungan terperinci Mengapa saya tidak tahu semasa saya belajar penjanaan garis: Terdapat hubungan kesetaraan antara matriks dan graf?. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!