重复单位可整除性（使用C++）

王林转载: 2023-08-26 22:37:12 1052浏览

重复单位可整除性（使用C++）

在本文中，我们将讨论找到可被 N 整除的重复单元的数量。重复单元只是 1 的重复数量，令 R(k) 为重复单元，其中 k 为 1 的长度。例如 R(4) = 1111。因此我们需要找到 R(k) 可被 N 整除的 k 的最小数量，例如 -

Input : N = 13
Output : k = 6
Explanation : R(6) i.e 111111 is divisible by 13.

Input : N = 31
Output : k = 15

寻找解决方案的方法

您可以通过检查从 1 开始的 k 的每个值来解决此问题，其中 R(k) 能否被 N 整除。但是使用此解决方案，我们将无法确定 N 是否可被 R(k) 的任何值整除。这将使程序变得过于复杂，甚至可能无法运行。

解决该程序的有效方法是，

检查 N 是否与 10 互质。
如果不是，则对于任何 k 值，R(k) 都不能被 N 整除。
如果是，则对于每个重复单元R(1)、R(2)、R(3)...等等，计算R(i)与N相除的余数，因此余数有n个。
找到 R(i) 和 R(j) 的相同余数，其中 R(i) 和 R(j) 是两个重复单元，以便 R(i) - R(j) 可被 N 整除.
aR(i) 和 R(j) 的差将重复单位乘以 10 的某个幂，但 10 和 N 互质，因此 R(k) 将被 N 整除。

示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
   int N = 31;
   int k = 1;
   // checking if N is coprime with 10.
   if (N % 2 == 0 || N % 5 == 0){
      k = 0;
   } else {
      int r = 1;
      int power = 1;
      // check until the remainder is divisible by N.
      while (r % N != 0) {
         k++;
         power = power * 10 % N;
         r = (r + power) % N;
      }
   }
   cout << "Value for k : "<< k;
   return 0;
}