Java代码实现克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法是一种用于求解最小生成树问题的贪心算法。最小生成树是一个连通无向图中生成树中边权值和最小的生成树。克鲁斯卡尔算法按边权值从小到大的顺序依次选择边，当所选的边不会形成环时，将其加入到生成树中。具体实现过程如下：

• 将所有边按照边权值从小到大排序。

• 依次选择边，如果选择的边的两个端点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到最小生成树中，并将两个端点合并为同一个连通分量。

• 直到最小生成树中包含了图中的所有顶点为止。

算法的优点在于只需要关注边的权值，而与顶点的度数无关，因此在稠密图中也能表现出较好的性能。同时，克鲁斯卡尔算法还具有较好的可扩展性，可以很方便地处理带权图中的最小生成森林问题。

执行流程

• 将所有的边按照权值从小到大排序；

• 依次遍历每条边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，则将这条边加入生成树，并将这两个节点合并为一个连通分量；

• 重复步骤 2 直到所有的节点都在同一个连通分量中，此时生成的树即为最小生成树。

在实现过程中，通常使用并查集来维护连通性，以提高效率。

代码实现

import java.util.*;

public class KruskalAlgorithm {
    
    // 定义边的数据结构
    class Edge implements Comparable<Edge> {
        int src, dest, weight;
 
        public int compareTo(Edge edge) {
            return this.weight - edge.weight;
        }
    }
    
    // 并查集数据结构
    class Subset {
        int parent, rank;
    }
 
    int V, E; // V是顶点数，E是边数
    Edge edge[]; // 存储边的数组
 
    // 构造函数，初始化边和顶点数
    KruskalAlgorithm(int v, int e) {
        V = v;
        E = e;
        edge = new Edge[E];
        for (int i = 0; i < e; ++i)
            edge[i] = new Edge();
    }
 
    // 查找父节点
    int find(Subset subsets[], int i) {
        if (subsets[i].parent != i)
            subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent);
        return subsets[i].parent;
    }
 
    // 合并两个子集
    void union(Subset subsets[], int x, int y) {
        int xroot = find(subsets, x);
        int yroot = find(subsets, y);
 
        if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank)
            subsets[xroot].parent = yroot;
        else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank)
            subsets[yroot].parent = xroot;
        else {
            subsets[yroot].parent = xroot;
            subsets[xroot].rank++;
        }
    }
 
    // 执行克鲁斯卡尔算法
    void kruskal() {
        Edge result[] = new Edge[V]; // 存储结果的数组
        int e = 0; // 表示result数组中的下标
 
        // 将边按照权重从小到大排序
        Arrays.sort(edge);
 
        // 创建V个子集
        Subset subsets[] = new Subset[V];
        for (int i = 0; i < V; ++i)
            subsets[i] = new Subset();
 
        // 初始化每个子集的父节点和秩
        for (int v = 0; v < V; ++v) {
            subsets[v].parent = v;
            subsets[v].rank = 0;
        }
 
        // 取E-1条边
        int i = 0;
        while (e < V - 1) {
            Edge next_edge = new Edge();
            next_edge = edge[i++];
 
            int x = find(subsets, next_edge.src);
            int y = find(subsets, next_edge.dest);
 
            // 如果两个节点不在同一个集合中，合并它们
            if (x != y) {
                result[e++] = next_edge;
                union(subsets, x, y);
            }
        }
 
        // 打印结果
        System.out.println("Following are the edges in the constructed MST");
        for (i = 0; i < e; ++i){
            System.out.println(result[i].src + " - " + result[i" - " + result[i].weight);
            return;
        }
        
        // 定义一个辅助函数，用于查找结点所在的集合 
        private int find(int parent[], int i) { 
            if (parent[i] == -1) 
                return i; 
            return find(parent, parent[i]); 
        }

        // 定义一个辅助函数，用于合并两个集合 
        private void union(int parent[], int x, int y) { 
            int xset = find(parent, x); 
            int yset = find(parent, y); 
            parent[xset] = yset; 
        } 
    }
}

函数使用Arrays类的sort方法，按照边的权重从小到大对边进行排序。然后，函数依次遍历排序后的边，对于每条边，使用find函数查找其src和dest所在的集合的根节点。如果根节点不同，则说明这两个集合不连通，可以合并，并将边加入最小生成树的结果数组result中。最后，函数遍历最小生成树的结果数组result，并输出每条边的起点、终点和权重。

该实现中，使用了快速查找集合的方法，即使用并查集来实现。每个结点都有一个parent数组，其中parent[i]表示结点i的父节点，如果parent[i] == -1，则说明结点i为根节点。在查找结点所在的集合时，如果当前结点的父节点为-1，则说明该结点为根节点，直接返回；否则，递归查找其父节点所在的集合。在合并两个集合时，找到要合并的两个集合的根节点，将其中一个根节点的父节点设为另一个根节点的索引，即将一个集合的根节点合并到另一个集合的根节点下。

这样实现的克鲁斯卡尔算法时间复杂度为O(ElogE)，其中E表示图中的边数，主要的时间开销在于排序边的过程。空间复杂度为O(V+E)，其中V表示图中的顶点数，主要的空间开销在于存储边和parent数组。

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