암시적 마르코프 모델에 Baum-Welch 알고리즘 적용

HMM(Implicit Markov Model)은 시계열 데이터를 모델링하고 예측하는 데 일반적으로 사용되는 통계 모델입니다. Baum-Welch 알고리즘은 Forward-Backward 알고리즘이라고도 하며 HMM 매개변수 추정에 사용되는 비지도 학습 알고리즘입니다. 이번 글에서는 Baum-Welch 알고리즘의 원리와 구현 과정을 자세히 소개하겠습니다.

1. HMM 소개

Baum-Welch 알고리즘을 소개하기 전에 먼저 HMM 모델에 대해 알아보겠습니다. HMM 모델은 은닉 마르코프 체인에 의해 관찰 시퀀스를 무작위로 생성하는 과정을 설명하는 데 사용되는 확률 모델입니다. 은닉 마르코프 체인은 일련의 상태와 상태 간 전이 확률로 구성되며, 관찰 시퀀스는 각 상태에서 생성된 관찰로 구성됩니다. HMM 모델의 기본 가정은 관측 시퀀스의 각 관측값이 현재 상태에만 의존하고 과거 상태 및 관측값과는 아무런 관련이 없다는 것입니다. Baum-Welch 알고리즘은 HMM 모델의 매개변수를 추정하는 데 사용되는 비지도 학습 알고리즘입니다. 모델이 관측 데이터에 더 잘 맞도록 관측 순서에 따라 모델의 전이 확률과 방출 확률을 반복적으로 조정합니다. Baum-Welch 알고리즘은 여러 번의 반복을 통해 최적의 모델 매개변수를 찾을 수 있으므로 관찰 시퀀스의 생성 과정을 보다 정확하게 설명할 수 있습니다.

HMM 모델은 세 가지 매개변수로 설명할 수 있습니다.

1. 모델의 초기 상태 확률을 나타내는 초기 상태 확률 벡터(π)

2. , 이는 한 상태에서 다른 상태로 전환할 확률을 나타냅니다.

3. 각 상태에서 관찰 값을 생성할 확률을 나타냅니다.

HMM 모델은 일반적으로 예측과 추론을 위해 순방향 및 역방향 알고리즘을 사용합니다. 그러나 HMM 모델의 세 가지 매개변수는 훈련 데이터로부터 추정되어야 합니다. 이것이 Baum-Welch 알고리즘이 하는 일입니다.

2. Baum-Welch 알고리즘의 원리

Baum-Welch 알고리즘은 HMM 모델의 세 가지 매개변수를 추정하는 데 사용되는 EM 알고리즘을 기반으로 하는 비지도 학습 알고리즘입니다. EM 알고리즘은 E-step과 M-step을 번갈아 가며 매개변수를 풀기 위해 우도 함수를 최대화하는 반복 알고리즘입니다. HMM에서 E 단계는 현재 매개변수가 주어지면 각 순간에 각 상태에 있을 확률을 계산합니다. M 단계는 이러한 확률을 통해 모델 매개변수를 업데이트합니다.

구체적으로 Baum-Welch 알고리즘의 프로세스는 다음과 같습니다.

1. 모델 매개변수(π, A, B)를 무작위로 초기화합니다.

2. 현재 매개변수, 매 순간 각 상태에 있을 확률

3 이러한 확률을 사용하여 모델 매개변수를 업데이트합니다. 특히 초기 상태 확률 벡터 π, 상태 전이 확률 행렬 A 및 관찰 확률 행렬 B를 업데이트합니다. ;

4. 모델 매개변수가 수렴될 때까지 2단계와 3단계를 반복합니다.

E단계에서는 현재 매개변수가 주어지면 매 순간 각 상태에 있을 확률을 계산해야 합니다. 구체적으로, 순방향 확률 α와 역방향 확률 β를 계산해야 합니다.

α_t(i)=P(O_1,O_2,…,O_t,q_t=i|λ)

β_t(i) =P (O_t+1,O_t+2,…,O_T|q_t=i,λ)

여기서 λ는 현재 모델 매개변수를 나타내고, O는 관찰 값 시퀀스를 나타내고, q는 상태 시퀀스를 나타냅니다. α_t(i)는 시간 t에서 상태 i에 있을 확률을 나타내고, β_t(i)는 상태 i의 조건이 주어졌을 때 시간 t+1부터 시간 T까지 관찰 시퀀스의 확률을 나타냅니다. α와 β는 재귀적으로 계산할 수 있습니다.

M단계에서는 이러한 확률을 사용하여 모델 매개변수를 업데이트해야 합니다. 구체적으로, 새로운 초기 상태 확률 벡터 π, 상태 전이 확률 행렬 A 및 관측 확률 행렬 B를 계산해야 합니다. A_ij=∑_(t=1)^(T-1)α_t(i)a_ij b_j(O_t+1)β_t+1(j)/∑_(t=1)^(T-1)α_t(i ) β_t(i)

B_j(k)=∑_(t=1)^(T-1)γ_t(j,k)/∑_(t=1)^(T-1)γ_t(j )

이 중 γ_t(i,j)는 시간 t에서 상태 i에 있을 확률을 나타내고 시간 t+1에 상태 j에 있을 확률을 나타내고, P(O|λ)는 관찰 시퀀스의 확률을 나타냅니다. 이러한 공식을 사용하여 모델 매개변수를 업데이트할 수 있습니다.

Baum-Welch 알고리즘의 수렴은 보장되지만 로컬 최적 솔루션으로 수렴될 수도 있습니다. 이러한 상황을 방지하려면 일반적으로 Baum-Welch 알고리즘을 여러 번 실행하고 최적의 모델 매개변수를 선택해야 합니다.

3. Baum-Welch 알고리즘 구현

Baum-Welch 알고리즘 구현에는 일반적으로 몇 가지 기술적 세부 사항이 포함됩니다. Baum-Welch 알고리즘의 구현 세부 사항은 다음과 같습니다.

1. 수치적 언더플로 방지

α와 β를 계산할 때 확률값이 작기 때문에 수치적 언더플로가 발생할 수 있습니다. 이를 방지하기 위해 로그 확률 및 로그 우도 함수를 계산에 사용할 수 있습니다.

2. 확률 0을 피하세요

B를 계산할 때 특정 시점에서 특정 상태가 특정 관측값을 생성할 확률이 0인 상황이 있을 수 있습니다. 이를 방지하려면 가산 평활화 또는 곱셈 평활화와 같은 평활화 기술을 사용할 수 있습니다.

3. 다중 실행 사용

Baum-Welch 알고리즘은 로컬 최적 솔루션으로 수렴될 수 있으므로 일반적으로 알고리즘을 여러 번 실행하고 최적의 모델 매개변수를 선택해야 합니다.

일반적으로 Baum-Welch 알고리즘은 EM 알고리즘을 기반으로 한 비지도 학습 알고리즘으로 자연어 처리, 음성 인식 및 기타 분야에서 널리 사용됩니다.

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