Python의 EM 알고리즘에 대한 자세한 설명

EM 알고리즘은 통계 학습에서 흔히 사용되는 알고리즘으로 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. Python은 뛰어난 프로그래밍 언어로서 EM 알고리즘을 구현하는 데 큰 장점이 있습니다. 이 기사에서는 Python의 EM 알고리즘을 자세히 소개합니다.

먼저 EM 알고리즘이 무엇인지 이해해야 합니다. EM 알고리즘은 기대 최대화 알고리즘(Expectation-Maximization Algorithm)이라고 하며 숨겨진 변수나 누락된 데이터가 포함된 매개변수 추정 문제를 해결하는 데 자주 사용되는 반복 알고리즘입니다. EM 알고리즘의 기본 아이디어는 관찰되지 않은 숨겨진 변수나 누락된 데이터를 지속적으로 추정하여 매개변수의 최대 우도 추정을 반복적으로 해결하는 것입니다.

Python에서 EM 알고리즘을 구현하는 것은 다음 네 단계로 나눌 수 있습니다.

1. E 단계

E 단계는 관찰된 데이터와 현재 매개변수를 추정하여 잠재 변수의 확률 분포를 계산합니다. 기본적으로 이 단계의 작업은 표본 데이터를 분류하고, 관찰 데이터를 클러스터링하고, 잠재 변수의 사후 분포를 얻는 것입니다. 실제 작업에서는 K-평균 알고리즘, GMM 등과 같은 일부 클러스터링 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

2. M step

M step의 임무는 E-step 수준 분류를 통해 매개변수를 재추정하는 것입니다. 이 시점에서는 각 범주의 데이터 분포에서 매개변수의 최대 우도 추정값을 계산하고 매개변수를 다시 업데이트하기만 하면 됩니다. 이 프로세스는 경사하강법 및 공액 경사 알고리즘과 같은 일부 최적화 알고리즘을 사용하여 구현할 수 있습니다.

3. 1단계와 2단계를 반복

다음으로 매개변수가 수렴될 때까지 1단계와 2단계를 반복하여 최대우도 추정을 만족하는 매개변수를 얻어야 합니다. 이 프로세스는 EM 알고리즘의 반복적인 솔루션 단계입니다.

4. 우도 함수 값 계산하기

마지막으로 우도 함수 값을 계산해야 합니다. EM 알고리즘을 지속적으로 실행함으로써 매개변수 추정이 우도 함수를 최대화하도록 매개변수가 업데이트됩니다. 이때 매개변수를 수정하고 현재 데이터 세트에 대한 우도 함수 값을 계산하여 최적화의 목적 함수로 사용할 수 있습니다.

위의 4단계를 거쳐 Python에서 EM 알고리즘을 구현할 수 있습니다.

코드는 다음과 같습니다:

import numpy as np
import math

class EM:
    def __init__(self, X, k, max_iter=100, eps=1e-6):
        self.X = X
        self.k = k
        self.max_iter = max_iter
        self.eps = eps

    def fit(self):
        n, d = self.X.shape

        # 随机初始化分布概率和均值与协方差矩阵
        weight = np.random.random(self.k)
        weight = weight / weight.sum()
        mean = np.random.rand(self.k, d)
        cov = np.array([np.eye(d)] * self.k)

        llh = 1e-10
        previous_llh = 0

        for i in range(self.max_iter):
            if abs(llh - previous_llh) < self.eps:
                break
            previous_llh = llh

            # 计算隐变量的后验概率，即E步骤
            gamma = np.zeros((n, self.k))
            for j in range(self.k):
                gamma[:,j] = weight[j] * self.__normal_dist(self.X, mean[j], cov[j])
            gamma = gamma / gamma.sum(axis=1, keepdims=True)

            # 更新参数，即M步骤
            Nk = gamma.sum(axis=0)
            weight = Nk / n
            mean = gamma.T @ self.X / Nk.reshape(-1, 1)
            for j in range(self.k):
                x_mu = self.X - mean[j]
                gamma_diag = np.diag(gamma[:,j])
                cov[j] = x_mu.T @ gamma_diag @ x_mu / Nk[j]

            # 计算似然函数值，即求解优化目标函数
            llh = np.log(gamma @ weight).sum()

        return gamma

    def __normal_dist(self, x, mu, cov):
        n = x.shape[1]
        det = np.linalg.det(cov)
        inv = np.linalg.inv(cov)
        norm_const = 1.0 / (math.pow((2*np.pi),float(n)/2) * math.pow(det,1.0/2))
        x_mu = x - mu
        exp_val = math.exp(-0.5 * (x_mu @ inv @ x_mu.T).diagonal())
        return norm_const * exp_val

Where,

X: 관찰 데이터

k: 범주 수

max_iter: 최대 반복 단계 수

eps: 수렴 임계값

fit() 함수: 매개변수 추정

__normal_dist( ): 다변량 가우스 분포 함수 계산

위 코드를 통해 Python에서 EM 알고리즘을 쉽게 구현할 수 있습니다.

이 외에도 텍스트 클러스터링, 이미지 분할, 준지도 학습 등 다양한 통계 학습 문제에도 EM 알고리즘이 적용됩니다. 유연성과 다양성으로 인해 통계 학습의 고전적인 알고리즘 중 하나가 되었습니다. 특히 누락된 데이터, 잡음이 있는 데이터와 같은 문제의 경우 잠재 변수를 추정하여 EM 알고리즘을 처리할 수 있으므로 알고리즘의 견고성이 향상됩니다.

요컨대 Python은 통계 학습에 점점 더 널리 사용되고 있으며 이러한 고전 알고리즘의 코드 구현 및 모델 교육에 더 많은 관심을 기울여야 합니다. 중요한 알고리즘 중 하나인 EM 알고리즘은 Python에서도 좋은 최적화 구현을 제공합니다. Python을 배우든 통계 학습 모델링을 배우든 EM 알고리즘 구현을 마스터하는 것이 시급합니다.

위 내용은 Python의 EM 알고리즘에 대한 자세한 설명의 상세 내용입니다. 자세한 내용은 PHP 중국어 웹사이트의 기타 관련 기사를 참조하세요!