N-S 方程式の問題は解決されましたか?リーマン予想と並べると、ミレニアム数学パズルは勝利が見えてきます

これは数学における最も有名な未解決問題の 1 つです。新しい作品は査読されており、全文が入手可能です。

#とても興味深いですね、流体力学は独自の超伝導の瞬間をもたらしているのでしょうか?

ここ数日、数学界の人々は、数学史上の未解決の問題であるナビエ・ストークス問題の正規ハミルトニアン公式がついに登場したことについて熱心に議論しています。答えがあるかもしれません。以前は、これは一般的に不可能であるとさえ考えられていました。

#これはどのくらい重要ですか?ナビエ・ストークス方程式は、リーマン予想と同様に、2000 年に「数学の 7 つのミレニアム問題」の 1 つとしてリストされました。

7 つの世界クラスの問題は次のとおりです: NP 完全問題、ホッジ予想、ポアンカレ予想、リーマン予想、ヤン-ミルズの存在と質量ギャップ、ナビエ-ストークス方程式、 BSD 予想。 7 つの問題にはそれぞれ 100 万ドルの賞金がかけられており、20 年以上の中でロシアの天才数学者ペレルマンによって唯一解決されたのは「ポアンカレ予想」だけです。

それらのほとんどはよく知られていますが、その中で「ナビエ・ストークス方程式」（N-S 方程式）についてはあまり言及されないようです。その理由は、この問題が難しすぎるからかもしれません（大学で「流体力学」の授業を履修した学生なら絶対に想像できるでしょう）。これは数学史上最も複雑な公式であると信じている人さえいます。

簡単に言うと、18 世紀の数学者オイラーは、「流体運動の一般原理」の中で、流体が受ける力と運動量の変化に基づいて次のことを導き出しました。非粘性流体が動き、一連の方程式が生成されました。

オイラー方程式の説明は、理想化された世界における流体の動きを規定していますが、実際の流体の内部には摩擦が存在します。自然界の流体は粘性があり、総称して粘性流体または実流体と呼ばれます。たとえば、蜂蜜をかき混ぜると粘性の影響を感じますが、飛行機の飛行抵抗も空気の粘性に大きく依存します。

実際の流体の粘性により、流体運動の研究は非常に複雑になります。

19 世紀、フランスの技術者で物理学者のクロード・ルイ・ナビットとアイルランドの物理学者で数学者のジョージ・ストークスが分子を考察し、流体のバランスと運動の基本方程式が確立され、直交座標における運動の成分形式が記述されます。

これは、後の世代でナビエ・ストークス方程式と呼ばれるものです。史上最も恐ろしい偏微分方程式の 1 つ。

ナビエ・ストークス方程式は、液体や空気などの流体物質を記述するために使用されます。これらの方程式は、流体の粒子運動量の変化率 (力) を、流体の内部に作用する圧力および散逸粘性力 (摩擦に類似) および重力の変化に関連付けます。これらの粘性力は分子の相互作用から発生し、液体の粘度を示します。このように、ナビエ・ストークス方程式は、液体の任意の領域に作用する力の動的バランスを記述します。

#これは、多くのエンジニアリング上の問題にとって重要です。

ナビエ・ストークス問題に対する世界的な解決策があれば、航空宇宙、ロケットエンジン、天気予報、パイプライン輸送、医療血流モデリングなど。

この一連の方程式に関わる難しい問題は、数学理論を使ってどのように説明するかということです。エキゾチックなブラック ホールを記述するアインシュタインの場方程式を説明する数学理論でさえ、ナビエ・ストークス方程式を定式化するよりも簡単です。

人々が言及した重要なブレークスルーは、流体力学の分野でトップジャーナルに掲載された論文「ナビエ・ストークス問題の標準ハミルトニアン定式化」に由来しています。 Journal of Fluid Mechanics」:

^{論文リンク: https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of -fluid -mechanics/article/canonical-hamiltonian-formulation-of-the-navierstokes-problem/B3EB9389AE700867A6A3EA63A45E69C6}

この論文では、次のような手法を提案しています。最小二乗原理 最小作用原理に基づく等方性ナビエ・ストークス問題の新しいハミルトニアン定式化の導出。この式では、速度 と圧力 が可変場の量として使用されるほか、解析から得られる正準共役運動量も使用されます。これに基づいて、本研究では、ハミルトニアン正準方程式を満たす保存ハミルトニアン関数 H* を構築し、圧縮性および非圧縮性流れに関連するハミルトニアン・ヤコビアン方程式を定式化します。このハミルトニアン ヤコビ方程式は、4 つの独立した場の量を見つける問題を、これらの場の中で 1 つのスカラー汎関数 (ハミルトンの主関数) を見つけることに帰着させます。さらに、ハミルトンとヤコビの変換理論は、ナビエ ストークス問題を解くための所定の方法を提供します: S* を見つける。

S * の解析式が得られる場合、正規変換を通じて新しいフィールドのセットが取得され、元の速度フィールドと圧力フィールドの解析式が得られます。 , これらのフィールドは単に初期値と等価になります。それができない場合は、ハミルトン・ヤコビアン方程式の完全な解が存在するか存在しないことを証明することしかできず、これにより解の存在の問題も解決されます。

この新しい研究は100万ドルの賞金につながるでしょうか?研究者が勝つためには、3 次元の非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の解が存在すること、そして解が存在する場合、それらの解は滑らかであることを示さなければなりません。

数学者のテレンス・タオはかつて、これは難しいと考えていました。

現在の進捗状況から判断すると、新しい研究により未解決の問題の解決が容易になり、私たちは大きな前進を遂げました - Navier-Storカース方程式は、標準的なラグランジアンの制限を回避し、問題を単一のスカラー関数を見つけることに縮小できることを意味する可能性があります。

おそらく、ミレニアム パズルの 2 番目の質問を解決するのもそう遠くないでしょう。

参考コンテンツ:

^{https://www1.grc. nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/navier-bloods-equation/}

^{https://zhuanlan.zhihu.com/p/263628141}

#https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regulatory-for-navier-stokes-is-hard/^#

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