線形判別分析LDAの詳細な分析

線形判別分析 (LDA) は、次元削減と特徴抽出に使用できる古典的なパターン分類方法です。顔認識では、特徴抽出に LDA がよく使用されます。主なアイデアは、データを低次元部分空間に投影して、部分空間内の異なるカテゴリのデータの差を最大にし、部分空間内の同じカテゴリのデータの分散を最小にすることです。クラス間散乱行列とクラス内散乱行列の固有ベクトルを計算することで、最適な射影方向を求めることができ、データの次元削減と特徴抽出を実現します。 LDA は、実用的なアプリケーションにおいて優れた分類性能と計算効率を備えており、画像認識、パターン認識などの分野で広く使用されています。

線形判別分析 (LDA) の基本的な考え方は、高次元のデータを低次元の空間に投影して、この空間内のさまざまなカテゴリのデータの分布によって差が最大化されるようにすることです。元のデータを新しい空間に投影することで、同じカテゴリのデータが可能な限り近くなり、異なるカテゴリのデータが可能な限り離れるようにすることで、分類の精度が向上します。具体的には、LDA は、投影されたデータが可能な限りこの目標を満たすように、クラス内発散行列とクラス間発散行列の比率を計算することによって投影方向を決定します。このようにして、投影された低次元空間では、同じカテゴリのデータがより近くに集まり、異なるカテゴリ間のデータがより分散され、分類が容易になります。

線形判別分析 LDA の基本原理

線形判別分析 (LDA) は一般的な教師あり学習アルゴリズムであり、主に次元削減と分類に使用されます。基本原理は次のとおりです。

一連のラベル付きデータ セットがあり、各サンプルに複数の特徴ベクトルがあるとします。私たちの目標は、これらのデータ ポイントをさまざまなラベルに分類することです。この目標を達成するには、次の手順を実行します。 1. 各ラベルの下のすべてのサンプル特徴ベクトルの平均ベクトルを計算して、各ラベルの平均ベクトルを取得します。 2. すべてのデータ ポイントの合計平均ベクトルを計算します。これは、データ セット全体のすべてのサンプル特徴ベクトルの平均です。 3. 各ラベルのクラス内発散行列を計算します。クラス内発散行列は、各ラベル内のすべてのサンプルの特徴ベクトルとそのラベルの平均ベクトルの差の積であり、各ラベルの結果が合計されます。 4. クラス内発散行列の逆行列とクラス間発散行列の積を計算し、射影ベクトルを取得します。 5. 投影ベクトルを正規化して、長さが 1 になるようにします。 6. データ ポイントを投影ベクトルに投影して、1 次元の特徴ベクトルを取得します。 7. 設定されたしきい値を使用して、1 次元の特徴ベクトルをさまざまなラベルに分類します。 上記の手順を通じて、多次元のデータ ポイントを 1 次元の特徴空間に投影し、それらをしきい値に基づいて対応するラベルに分類することができます。この方法は、データの次元削減と分類を実現するのに役立ちます。

LDA の中心となるアイデアは、平均ベクトルと発散行列を計算して、データの内部構造とカテゴリの関係を発見することです。データはベクトルを投影することで次元削減され、分類タスクには分類子が使用されます。

線形判別分析 LDA の計算プロセス

LDA の計算プロセスは次の手順に要約できます。

各カテゴリの平均ベクトル、つまり平均値を計算します。各カテゴリのすべてのサンプルのベクトル 特徴ベクトルが平均され、全体の平均ベクトルが計算されます。

クラス内発散行列を計算する場合、各カテゴリのサンプルの特徴ベクトルと平均ベクトルの差を乗算して累積する必要があります。

各カテゴリの合計平均ベクトルと各カテゴリの平均ベクトルの差を乗算し、すべてのカテゴリの結果を累積することにより、クラス間分散行列を計算します。

4. 射影ベクトルを計算します。つまり、特徴ベクトルを 1 次元空間上のベクトルに射影します。このベクトルは、クラス内発散行列の逆行列と相互行列の積です。クラス発散行列を作成し、ベクトルの変化を正規化します。

5. すべてのサンプルを投影して、1 次元の特徴ベクトルを取得します。

6. 1 次元の特徴ベクトルに従ってサンプルを分類します。

7. 分類パフォーマンスを評価します。

線形判別分析 LDA 手法の利点と欠点

線形判別分析 LDA は、一般的な教師あり学習アルゴリズムであり、その利点と欠点は次のとおりです:

利点:

• LDA は、理解しやすく、実装も簡単な線形分類方法です。
• LDA は分類だけでなく、次元削減にも使用できるため、分類器のパフォーマンスが向上し、計算量が削減されます。
• LDA は、データが正規分布を満たし、ノイズに対してある程度の堅牢性があることを前提としています。ノイズが少ないデータの場合、LDA は非常に優れた分類効果を発揮します。
• LDAは、データの内部構造やカテゴリ間の関係を考慮し、データの判別情報を可能な限り保持し、分類の精度を向上させます。

欠点:

• LDA假設各類別的協方差矩陣是相等的，但在實際應用中，很難滿足這個假設，可能會影響分類效果。
• LDA對於非線性可分的數據，分類效果不佳。
• LDA對異常值和雜訊較敏感，可能會影響分類效果。
• LDA需要計算協方差矩陣的逆矩陣，如果特徵維度過高，可能會導致計算量非常大，不適合處理高維度資料。

綜上所述，線性判別分析LDA適用於處理低維度、線性可分且資料滿足常態分佈的情況，但對於高維、非線性可分或資料不滿足正態分佈等情況，需選擇其他演算法。

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