Comment calculer le déterminant d'une matrice ou d'un ndArray en utilisant numpy en Python ?

Dans cet article, nous apprendrons comment calculer le déterminant d'une matrice à l'aide de la bibliothèque numpy en Python. Le déterminant d'une matrice est une valeur scalaire qui peut représenter la matrice sous forme compacte. C'est une quantité utile en algèbre linéaire et a de nombreuses applications dans divers domaines, notamment la physique, l'ingénierie et l'informatique.

Dans cet article, nous aborderons d'abord la définition et les propriétés du déterminant. Nous apprendrons ensuite comment utiliser numpy pour calculer le déterminant d'une matrice et verrons comment il est utilisé en pratique à travers quelques exemples.

Définition et propriétés du déterminant

Le déterminant d'une matrice est une valeur scalaire qui peut être utilisée pour décrire les propriétés d'une matrice sous une forme compacte. Elle est souvent désignée par |A| ou det(A), où A est la matrice. concept fondamental en algèbre linéaire et possède plusieurs propriétés importantes qui en font un outil puissant dans les calculs mathématiques.

• L'une des propriétés les plus remarquables du déterminant est qu'il est égal au produit des valeurs propres de la matrice. Les valeurs propres sont un ensemble spécial de valeurs scalaires qui représentent la façon dont une matrice agit sur certains vecteurs et jouent un rôle crucial dans de nombreuses applications de l'algèbre linéaire.

• Une autre propriété importante du déterminant est qu'il est égal au produit des éléments diagonaux d'une matrice triangulaire supérieure ou d'une matrice triangulaire inférieure. Une matrice triangulaire est une matrice avec des zéros au-dessus ou en dessous de la diagonale. Cette propriété est très utile lors du calcul du déterminant d'une grande matrice.

• Le déterminant peut également être calculé en multipliant la somme des éléments d'une ligne ou d'une colonne par le signe approprié. Cette propriété fournit une méthode alternative de calcul du déterminant et est utile lorsque la matrice n'est pas triangulaire.

• De plus, le déterminant peut être calculé en multipliant les éléments de la diagonale principale de la matrice et en divisant par le déterminant du cofacteur, de la sous-matrice ou de la matrice adjointe. Ces matrices sont dérivées des matrices originales et possèdent des propriétés uniques qui aident à calculer le déterminant.

Calculer le déterminant d'une matrice en utilisant numpy

Pour utiliser numpy pour calculer le déterminant d'une matrice, nous pouvons utiliser la fonction linalg.det(). Cette fonction accepte une matrice en entrée et renvoie le déterminant de la matrice. Voyons un exemple −

import numpy as np
# create a 2x2 matrix
matrix = np.array([[5, 6], [7, 8]])
# calculate the determinant of the matrix
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant)

Sortie

<font face="Liberation Mono, Consolas, Menlo, Courier, monospace"><span style="font-size: 14px;">-2.000000000000005</span></font>

Explication du code

Comme vous pouvez le voir, la fonction linalg.det() calcule le déterminant d'une matrice et le renvoie sous forme de valeur scalaire. Dans ce cas, le déterminant de la matrice est -2,0.

Calculer le déterminant d'une matrice de grande dimension

Pour calculer le déterminant d'une matrice de grande dimension, nous pouvons utiliser la même fonction linalg.det(). Voyons un exemple −

import numpy as np
# create a 3x3 singular matrix
matrix = np.array([[20, 21, 22], [23, 24, 25], [26, 27, 28]])
# calculate the determinant of the matrix
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant)

Sortie

2.131628207280298e-14

Explication du code

Comme vous pouvez le voir, la fonction linalg.det() peut également être utilisée pour calculer le déterminant des matrices de grande dimension. Dans ce cas, le déterminant de la matrice est 0,0.

Calculer le déterminant d'une matrice singulière

Une matrice singulière est une matrice sans matrice inverse. Le déterminant d'une matrice singulière est 0, ce qui signifie qu'elle n'est pas inversible. Regardons un exemple −

Exemple 1

Exemple 1

Dans l'exemple ci-dessous, la fonction linalg.det() renvoie 0 pour une matrice singulière, ce qui signifie qu'elle n'est pas inversible.

import numpy as np
# create a 3x3 matrix
matrix = np.array([[10, 11, 12], [13, 14, 15], [16, 17, 18]])
# calculate the determinant of the matrix
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant)

Sortie

0.0

Exemple 2

Exemple 2

linalg.slogdet() renvoie le signe de la matrice et le logarithme du déterminant. Le déterminant est calculé à l'aide de la méthode de décomposition LU, qui est plus stable et précise que la méthode utilisée par la fonction linalg.det().

L'un des avantages de l'utilisation de la fonction linalg.slogdet() est qu'elle est plus stable et plus précise que la fonction linalg.det(), en particulier pour les grandes matrices. Cependant, gardez à l'esprit qu'il renvoie le logarithme du déterminant, vous devez donc exponentier le résultat pour obtenir le déterminant réel

import numpy as np
# create a 3x3 matrix
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# calculate the determinant of the matrix using the linalg.slogdet() function
sign, determinant = np.linalg.slogdet(matrix)
print(determinant)

Sortie

-inf

Conclusion

Cet article nous apprend à utiliser Python numpy pour calculer le déterminant d'une matrice. Nous avons examiné la définition et les propriétés des déterminants, et comment utiliser la fonction linalg.det() pour calculer le déterminant d'une matrice. Nous avons également examiné quelques exemples pour voir comment cela fonctionne dans la pratique. Nous avons également appris à calculer le déterminant d'une matrice en utilisant numpy en Python.

Le déterminant est une valeur scalaire qui peut être utilisée pour représenter une matrice sous une forme concise. Il a de nombreuses applications dans divers domaines. Pour calculer le déterminant d'une matrice à l'aide de numpy, nous pouvons utiliser la fonction linalg.det(), qui accepte une matrice en entrée et renvoie le déterminant. Alternativement, nous pouvons utiliser la fonction linalg.slogdet(), qui renvoie le signe et le logarithme du déterminant en utilisant la méthode de décomposition LU. Les deux fonctions facilitent le calcul du déterminant d'une matrice en Python et constituent des outils utiles pour travailler avec des matrices dans des applications scientifiques et techniques.

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