Beyond JavaScript - Why + doesn&#t equal in programming

當開發者第一次遇到這個看似令人費解的結果時，JavaScript 經常受到嘲笑：

0.1 + 0.2 == 0.30000000000000004

關於 JavaScript 處理數字的迷因很普遍，常常導致許多人相信這種行為是該語言所獨有的。

然而，這個怪癖不僅限於 JavaScript。這是大多數程式語言處理浮點運算方式的結果。

例如，以下是來自 Java 和 Go 的程式碼片段，它們產生類似的結果：

電腦本身只能儲存整數。他們不懂分數。 （他們會怎麼做？電腦進行算術運算的唯一方法是打開或關閉一些燈。燈可以打開或關閉。它不能「半」亮！）他們需要某種表示浮點數的方法。由於這種表示方法並不完全準確，因此 0.1 + 0.2 通常不等於 0.3。

所有分母由數係基數的質因數組成的分數都可以清晰地表達，而任何其他分數都會有重複的小數。例如，在以10 為基數的數字系統中，可以清楚地表示1/2、1/4、1/5、1/10 等分數，因為每種情況下的分母均由2 或5（10 的質因數）組成. 然而，像1/3、1/6、1/7 這樣的分數都有循環小數。

同樣，在二進位系統中，像 1/2、1/4、1/8 這樣的分數都可以清晰地表達，而所有其他分數都有循環小數。當您對這些循環小數執行算術運算時，您最終會得到剩餘的內容，當您將計算機的數字二進製表示形式轉換為人類可讀的以 10 為基數的表示形式時，這些剩餘內容會繼續存在。這就是導致大致正確結果的原因。

既然我們已經確定這個問題並非 JavaScript 所獨有，那麼讓我們探討一下浮點數是如何在幕後表示和處理的，以了解為什麼會出現這種行為。

為了了解浮點數在底層是如何表示和處理的，我們首先必須了解 IEEE 754 浮點標準。

IEEE 754 標準是一種廣泛使用的規範，用於在電腦系統中表示浮點數並對其執行算術運算。它的創建是為了確保在各種計算平台上使用浮點運算時的一致性。大多數程式語言和硬體實作（CPU、GPU 等）都遵守此標準。

這是用 IEEE 754 格式表示數字的方式：

這裡s是符號位（0代表正，1代表負），M是尾數（保存數字的數字）和E 是決定數字大小的指數。

您將無法找到任何可以以這種格式精確表示數字（如 0.1、0.2 或 0.3）的 M 和 E 整數值。我們只能選擇給出最接近結果的 M 和 E 值。

這是一個可用來決定十進位數的 IEEE 754 表示法的工具：https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

IEEE 754 0.25 表示法：

IEEE 754 分別表示 0.1 與 0.2：

請注意，0.25 時轉換誤差為 0，而 0.1 和 0.2 則為非零誤差。

IEEE 754 定義了以下表示浮點數的格式：

• 單精確度（32 位元）：1 位元符號，8 位元指數，23 位元尾數

• 雙精確度（64 位元）：1 位元符號，11 位元指數，52 位元尾數

為了簡單起見，讓我們考慮使用 32 位元的單精度格式。

0.1 的 32 位元表示為：

0 01111011 10011001100110011001101

Here the first bit represents the sign (0 which means positive in this case), the next 8 bits (01111011) represent the exponent and the final 23 bits (10011001100110011001101) represent the mantissa.

This is not an exact representation. It represents ≈ 0.100000001490116119384765625

Similarly, the 32 bit representation of 0.2 is:

0 01111100 10011001100110011001101

This is not an exact representation either. It represents ≈ 0.20000000298023223876953125

When added, this results in:

0 01111101 11001101010011001100110 

which is ≈ 0.30000001192092896 in decimal representation.

In conclusion, the seemingly perplexing result of 0.1 + 0.2 not yielding 0.3 is not an anomaly specific to JavaScript, but a consequence of the limitations of floating-point arithmetic across programming languages. The roots of this behaviour lie in the binary representation of numbers, which inherently leads to precision errors when handling certain fractions.

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