Detaillierte Erläuterung der C++-Funktionsrekursion: Komplexitätsanalyse der Rekursion

Rekursion ist der Prozess, bei dem sich eine Funktion selbst aufruft. Die zeitliche Komplexität der Rekursion kann analysiert werden, indem die Anzahl der rekursiven Aufrufe gezählt wird. Beispielsweise ist die Fakultätsfunktion O (n ^ 2) und die rekursive Funktion des n-ten Termes der Fibonacci-Folge ist O (φ ^ n). wobei φ der Goldene Schnitt ist.

Detaillierte Erklärung der C++-Funktionsrekursion: Komplexitätsanalyse der Rekursion

Was ist Rekursion?

Rekursion ist das Verhalten einer Funktion, die sich selbst aufruft. Rekursion tritt auf, wenn eine Funktion sich selbst in sich selbst aufruft.

Beispiel für eine Rekursion

Das Folgende ist eine rekursive Funktion, die Fakultäten berechnet:

int factorial(int n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  return n * factorial(n - 1);
}

Komplexitätsanalyse der Rekursion

Die Komplexität einer rekursiven Funktion kann analysiert werden, indem die Anzahl ihrer rekursiven Aufrufe gezählt wird.

Für die Fakultätsfunktion:

• Wenn n 0 ist, rufen Sie es einmal rekursiv auf.
• Wenn n 1 ist, werden rekursive Aufrufe zweimal durchgeführt (1 Selbstaufruf, 1 Rückruf).
• Wenn n 2 ist, werden rekursive Aufrufe dreimal durchgeführt (1 Selbstaufruf, 2 Tail-Aufrufe).

Wenn n gleich k ist, beträgt die Anzahl der rekursiven Aufrufe analog k + 1.

Die Anzahl der rekursiven Aufrufe bildet eine arithmetische Folge: 1, 2, 3, ..., k + 1, und ihre Summenformel lautet:

1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2) / 2

Daher ist die Komplexität der Fakultätsfunktion O(n^2) .

Praktischer Fall

Das Folgende ist eine rekursive Funktion, die den n-ten Term der Fibonacci-Folge berechnet:

int fibonacci(int n) {
  if (n <= 1) {
    return 1;
  }
  return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

Die Anzahl der rekursiven Aufrufe hängt mit dem Goldenen Schnitt zusammen und seine Komplexität ist O(φ^n), wobei φ ≈ 1,618 Es ist der Goldene Schnitt.

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