Ist die Mathematik hinter dem Diffusionsmodell zu schwer zu verstehen? Google macht es mit einer einheitlichen Perspektive klar

In letzter Zeit erfreut sich KI-Malerei großer Beliebtheit.

Während Sie über die Malfähigkeiten der KI staunen, wissen Sie vielleicht nicht, dass das Diffusionsmodell dabei eine große Rolle spielt. Nehmen Sie als Beispiel das beliebte Modell DALL·E 2 von OpenAI. Geben Sie einfach einen einfachen Text (Eingabeaufforderung) ein und es können mehrere hochauflösende Bilder mit 1024 * 1024 generiert werden.

Nicht lange nach der Ankündigung von DALL·E 2 veröffentlichte Google anschließend Imagen, ein Text-zu-Bild-KI-Modell, das aus einer vorgegebenen Textbeschreibung realistische Bilder der Szene generieren kann.

Vor ein paar Tagen hat Stability.Ai die neueste Version des Textgenerierungsbildmodells Stable Diffusion öffentlich veröffentlicht, und die generierten Bilder haben kommerzielle Qualität erreicht.

Seit Google DDPM im Jahr 2020 veröffentlicht hat, hat sich das Diffusionsmodell nach und nach zu einem neuen Hotspot im Bereich der Generierung entwickelt. Später führte OpenAI GLIDE-, ADM-G-Modelle usw. ein, was das Diffusionsmodell populär machte.

Viele Forscher glauben, dass das auf dem Diffusionsmodell basierende Textbildgenerierungsmodell nicht nur eine geringe Anzahl von Parametern aufweist, sondern auch Bilder höherer Qualität generiert und das Potenzial hat, GAN zu ersetzen.

Allerdings hat die mathematische Formel hinter dem Diffusionsmodell viele Forscher abgeschreckt, und viele Forscher glauben, dass es viel schwieriger zu verstehen ist als VAE und GAN.

Kürzlich hat ein Forscher von Google Research einen Artikel mit dem Titel „Understanding Diffusion Models: A Unified Perspective“ geschrieben. Dieser Artikel zeigt die mathematischen Prinzipien hinter dem Diffusionsmodell auf äußerst detaillierte Weise, mit dem Ziel, es anderen Forschern zu ermöglichen, zu folgen und zu verstehen das Diffusionsmodell. Was sie sind und wie sie funktionieren.

Papieradresse: https://arxiv.org/pdf/2208.11970.pdf Wie „mathematisch“ dieses Papier ist, beschreibt der Autor so: „Wir und seine quälenden Details“ zeigen die Mathematik dahinter Modelle.

Der Artikel ist in 6 Teile unterteilt, darunter hauptsächlich generative Modelle; ELBO, VAE und hierarchische VAE-Modelle;

Das Folgende ist ein Auszug aus dem Papier zur Einführung:

Generatives Modell​

Bei einer Beobachtungsstichprobe x in der Verteilung besteht das Ziel des generativen Modells darin, seine wahren Daten zu erfahren Verteilung p( x) Modellierung. Nachdem das Modell gelernt ist, können wir neue Proben generieren. Darüber hinaus können wir in einigen Formen auch Lernmodelle verwenden, um Beobachtungen oder Beispieldaten auszuwerten.

In der aktuellen Forschungsliteratur gibt es mehrere wichtige Richtungen. In diesem Artikel werden sie nur kurz auf hoher Ebene vorgestellt. Dazu gehören hauptsächlich: GAN, das den Stichprobenprozess komplexer Verteilungen modelliert und auf kontradiktorische Weise lernt. Generative Modelle, die wir auch als „wahrscheinlichkeitsbasierte“ Methoden bezeichnen können, können beobachteten Datenproben eine hohe Wahrscheinlichkeit zuweisen und umfassen normalerweise Autoregression, normalisierten Fluss und VAE. Energiebasierte Modellierung: Bei diesem Ansatz wird die Verteilung als beliebige flexible Energiefunktion gelernt und anschließend normalisiert. In punktebasierten generativen Modellen wird nicht gelernt, die Energiefunktion selbst zu modellieren, sondern der auf dem Energiemodell basierende Punktestand wird als neuronales Netzwerk erlernt. ​

In dieser Studie untersucht und überprüft dieser Artikel Diffusionsmodelle. Wie im Artikel gezeigt, verfügen sie über wahrscheinlichkeitsbasierte und bewertungsbasierte Interpretationen.

Variationsdiffusionsmodell​

Auf einfache Weise kann ein Variationsdiffusionsmodell (VDM) als hierarchische Markov-Variation mit drei Haupteinschränkungen (oder Annahmen) betrachtet werden. In Autoencoder (MHVAE) unterteilt, sind dies:

• Die latente Dimension ist genau die gleiche wie die Datendimension
• Die Struktur des latenten Encoders wird bei jedem Zeitschritt nicht gelernt, sondern ist als lineares Gaußsches Modell vordefiniert. Mit anderen Worten handelt es sich um eine Gaußsche Verteilung, die sich auf die Ausgabe des vorherigen Zeitschritts konzentriert. Die Gaußschen Parameter des latenten Encoders ändern sich im Laufe der Zeit, und die latente Verteilung im letzten Zeitschritt T im Prozess ist eine Quasi-Gaußsche Verteilung.

Visuelle Darstellung des Variationsdiffusionsmodells

Darüber hinaus behalten die Forscher explizit die Beziehung zwischen hierarchischen Transformationen von standardmäßigen hierarchischen Markov-Variations-Markov-Eigenschaften bei. Sie erweiterten die Implikationen der oben genannten drei Hauptannahmen nach und nach.

Ausgehend von der ersten Annahme können aufgrund des Missbrauchs von Symbolen die realen Datenproben und latenten Variablen nun als x_t dargestellt werden, wobei t=0 die realen Probendaten darstellt und t ∈ [1, T] die darstellt entsprechende latente Variablen, ihre hierarchische Struktur wird durch t indiziert. Der VDM-Posterior ist derselbe wie der MHVAE-Posterior, kann aber jetzt wie folgt umgeschrieben werden:

Aus der zweiten Annahme ist bekannt, dass die Verteilung jeder latenten Variablen im Encoder durch dividiert wird vorherige Die latente Schichtvariable ist eine zentrierte Gaußsche Verteilung. Anders als bei MHVAE wird die Struktur des Encoders in jedem Zeitschritt nicht gelernt, sondern als lineares Gaußsches Modell festgelegt, bei dem der Mittelwert und die Standardabweichung als Hyperparameter voreingestellt oder als Parameter gelernt werden können. Mathematisch wird die Encodertransformation wie folgt ausgedrückt:

Für die dritte Hypothese entwickelt sich α_t im Laufe der Zeit nach einem festen oder lernbaren Zeitplan, sodass die Verteilung der endgültigen latenten Variablen p(x_T) ist die Standard-Gauß-Verteilung. Die gemeinsame Verteilung von MHVAE kann dann aktualisiert werden und die gemeinsame Verteilung von VDM kann wie folgt geschrieben werden:

Zusammenfassend beschreibt diese Reihe von Annahmen das stabile Rauschen eines Bildes, das sich im Laufe der Zeit entwickelt. Die Forscher verfälschten das Bild nach und nach, indem sie Gaußsches Rauschen hinzufügten, bis es schließlich mit dem Gaußschen Rauschen identisch war.

Ähnlich wie jedes HVACE kann VDM durch Maximieren der Evidence Lower Bound (ELBO) optimiert werden, die wie folgt abgeleitet werden kann:

Der Interpretationsprozess von ELBO ist in Abbildung 4 unten dargestellt . :

Drei äquivalente Interpretationen

Wie zuvor gezeigt, kann ein Variationsdiffusionsmodell einfach trainiert werden, indem man einem neuronalen Netzwerk beibringt, aus einer beliebigen verrauschten Version x_t und seinem Zeitindex t das ursprüngliche Natürliche vorherzusagen Bild x_0. Es gibt jedoch zwei äquivalente Parametrisierungen von x_0, die die Entwicklung zweier weiterer Interpretationen des VDM ermöglichen.

Zuerst können Sie die Technik der starken Parametrisierung verwenden. Bei der Ableitung der Form von q(x_t|x_0) kann Gleichung 69 wie folgt umgestellt werden:

Wenn man es in den zuvor abgeleiteten echten Entrauschungstransformationsmittelwert µ_q(x_t, x_0) einbringt, kann es wie folgt neu abgeleitet werden:

Daher kann der ungefähre Entrauschungstransformationsmittelwert µ_θ(x_t, t) wie folgt festgelegt werden :

und das entsprechende Optimierungsproblem lautet wie folgt:

Um die drei gängigen Interpretationen von Variationsdiffusionsmodellen abzuleiten, muss man sich der Tweedie-Formel zuwenden, Dies bedeutet, dass bei gegebener Stichprobe der wahre Mittelwert einer exponentiellen Familienverteilung anhand der Maximum-Likelihood-Schätzung der Stichprobe (auch empirischer Mittelwert genannt) plus einem Korrekturterm unter Einbeziehung der geschätzten Punktzahl geschätzt werden kann.

Mathematisch gesehen wird die Tweedie-Formel für eine Gaußsche Variable z ∼ N (z; µ_z, Σ_z) wie folgt ausgedrückt:

Score-basiertes generatives Modell

Forscher haben das gezeigt , Variationsdiffusionsmodelle können einfach durch Optimieren eines neuronalen Netzwerks s_θ(x_t, t) erlernt werden, um eine Score-Funktion ∇ log p(x_t) vorherzusagen. Der Bewertungsterm in der Ableitung stammt jedoch aus der Anwendung der Tweedie-Formel. Dies vermittelt nicht unbedingt eine gute Intuition oder Einsicht darüber, was genau die Score-Funktion ist oder warum es sich lohnt, sie zu modellieren. ​

Glücklicherweise können wir diese Intuition mit Hilfe einer anderen Art von generativem Modell erlangen, nämlich dem punktebasierten generativen Modell. Die Forscher zeigten tatsächlich, dass die zuvor abgeleitete VDM-Formulierung über eine äquivalente bruchbasierte generative Modellierungsformulierung verfügt, die einen flexiblen Wechsel zwischen den beiden Interpretationen ermöglicht.

Um zu verstehen, warum die Optimierung einer Score-Funktion sinnvoll ist, haben die Forscher energiebasierte Modelle erneut untersucht. Eine beliebige flexible Wahrscheinlichkeitsverteilung kann wie folgt geschrieben werden:​

Eine Möglichkeit, die Berechnung oder Modellierung der Normalisierungskonstanten zu vermeiden, besteht darin, ein neuronales Netzwerk s_θ(x) zu verwenden, um die Punktzahl der Verteilung p( x) Funktion ∇ log p(x). Es wird beobachtet, dass beide Seiten der Gleichung 152 logarithmisch differenziert werden können: Die Score-Funktion kann optimiert werden, indem die Fisher-Divergenz mithilfe der True-Score-Funktion minimiert wird. ​

Intuitiv ausgedrückt definiert die Score-Funktion ein Vektorfeld über den gesamten Raum, in dem sich die Daten x befinden, und zeigt auf das Modell, wie in Abbildung 6 unten dargestellt.

Schließlich stellten die Forscher sowohl anhand der Trainingsziele als auch des Stichprobenprozesses einen expliziten Zusammenhang zwischen dem Variationsdiffusionsmodell und dem punktebasierten generativen Modell her.

Weitere Einzelheiten finden Sie im Originalpapier.

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