Wie berechnet man den Winkel im Uhrzeigersinn zwischen zwei Vektoren: Jenseits des Skalarprodukts?

Berechnung des Winkels im Uhrzeigersinn zwischen Vektoren: Jenseits klassischer Ansätze

Klassische Methoden zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren basieren auf dem Skalarprodukt, das Gibt nur den Innenwinkel (0-180 Grad) an. Um den gewünschten Winkel im Uhrzeigersinn direkt zu erhalten, untersuchen wir alternative Ansätze, die die Determinante nutzen.

2D-Vektoren

Im 2D-Bereich stellt die Determinante einen Wert dar, der proportional zu ist Sinus des Winkels. Somit können wir den Winkel wie folgt berechnen:

dot = x1*x2 + y1*y2 
det = x1*y2 - y1*x2 
angle = atan2(det, dot)

Der resultierende Winkel richtet sich nach der Ausrichtung des Koordinatensystems und ergibt positive Werte für Drehungen im Uhrzeigersinn. Durch Vertauschen der Eingabevektoren wird das Vorzeichen umgekehrt.

3D-Vektoren

Für 3D-Vektoren, bei denen die Rotationsachse undefiniert bleibt, entscheiden wir uns normalerweise für positive Winkel. Das normalisierte Skalarprodukt liefert ein geeignetes Maß:

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))

Ebene eingebettet in 3D

Wenn die Vektoren innerhalb einer Ebene mit einem bekannten Normalenvektor n liegen, können wir Nutzen Sie diese Informationen, um die Berechnungen zu verfeinern:

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = x1*y2*zn + x2*yn*z1 + xn*y1*z2 - z1*y2*xn - z2*yn*x1 - zn*y1*x2
angle = atan2(det, dot)

Bereich 0 – 360°

Gemeinsame atan2-Implementierungen geben Winkel im Bereich [-π, π] Bogenmaß zurück. Um Winkel im gewünschten Bereich [0, 2π] im Bogenmaß zu erhalten, addieren Sie einfach 2π zu den negativen Ergebnissen. Alternativ können Sie atan2(-det, -dot) π bedingungslos verwenden.

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